Download miễn phí Luận văn Phương trình au = f trong không gian Banach



MỤC LỤC
 
Nội dung Trang
LỜI NÓI ĐẦU 2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 3
§1. Toán tử 3
§2. Tính khả vi và liên tục Lipschitz 7
§3. Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi 9
§4. Phương trình trong 12
CHƯƠNG 2: CÁC BỔ ĐỀ PHỤ TRỢ 15
§1. Chuỗi vô hạn biến 15
§2. Bổ đề chìa khóa 21
§3. Ước lượng nghiệm của phương trình trong 31
CHƯƠNG 3: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 36
§1. Phương trình trong một hình cầu trong . 36
§2. Định lý tồn tại nghiệm 38
§3. Một ví dụ 40
KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
 
 
 
 
 
 
 
 


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-luan_van_phuong_trinh_au_f_trong_khong_gian_bana.kDB2D89PEe.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53363/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Thank sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin Thank các thầy cô đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập nghiên cứu.
Thank các cơ quan chủ quản, gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt luận văn này.
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
§1. Toán tử .
Định nghĩa 1.1.1:
đánh giá là các không gian Banach thực. Ta ký hiệu là không gian tất cả các ánh xạ - tuyến tính
Định nghĩa 1.1.2:
đánh giá là không gian Banach phức, với . Chúng ta sẽ ký hiệu bởi là không gian con tất cả những sao cho :
Định nghĩa 1.1.3:
Nếu là tập con mở của ta sẽ ký hiệu bởi là không gian véc tơ tất cả các ánh xạ : . Và chúng ta sẽ ký hiệu gồm tất cả các của lớp
Định nghĩa 1.1.4:
đánh giá là một tập mở của thì ta ký hiệu là không gian con tất cả các sao cho .
Tương tự chúng ta sẽ ký hiệu bởi là không gian con tất cả các sao cho
Mệnh đề 1.1.5:
Nếu là tập con mở của thì
Chứng minh:
Có các phép chiếu liên tục : sao cho
. Điều này sinh ra các phép chiếu :
sao cho
Nếu là lớp thì rõ ràng là .
Nếu và thì ta có . Ở đó
Do đó
Định nghĩa 1.1.6:
đánh giá là tập con mở của . Với mỗi ta định nghĩa bởi :
Hay nói cách khác:
Mệnh đề 1.1.7:
Nếu là tập con mở của thì :
Cả 2 ánh xạ là tuyến tính.
và
và
Nếu thì :
Chứng minh: a), b) c) dễ thấy. Ta chứng minh d).
Ta có
Nhưng ta lại có theo c) thì , ,
. Theo mệnh đề 1.1.5 ta có
Chứng minh e):
Ta có Ta có
Do đó theo mệnh đề 1.1.5 ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.8:
đánh giá là không gian Banach phức. đánh giá là các tập mở, cho với .
Chứng minh: a) Nếu thì
Do đó nếu là - tuyến tính do đó
b) Với ta có :
Mà và
Theo mệnh đề 1.1.5 ta có :
Mệnh đề 1.1.9:
đánh giá là tập con mở của và cho thì trên
Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh
: Hiển nhiên
: Giả sử , lấy bất kỳ ta có
(1.1)
Chọn số phân biệt trong khoảng . Đặt , ,
Áp dụng (1.1) với ,
Ta được hệ phương trình tuyến tính : với . Dễ thấy là số phân biệt nên hệ phương trình trên có định thức Vandermonde do đó ta có
điều phải chứng minh.
§2. Tính khả vi và liên tục Lipschitz
đánh giá là không gian Banach phức, là tập mở, là một hàm
Định nghĩa 1.2.1:
Với mỗi tập ta xét 2 chuẩn sau đây :
Khi chúng ta đơn giản viết thay thế cho ,.
Nếu , chúng ta nói rằng là liên tục Lipschitz trên .
Định nghĩa 1.2.2:
là dạng - 1 vi phân trên , , là hình cầu đơn vị trong V. Xét 2 chuẩn của như sau:
Chúng ta nói rằng là liên tục Lipschitz trên nếu , . Ta cũng ký hiệu đơn giản là nếu .
Xét ánh xạ lớp . Bằng tính toán đơn giản ta có:
(1.2)
Hầu hết các tô pô được sử dụng để nghiên cứu không gian các hàm và các dạng vi phân là tô pô compact mở. Trong tô pô này thì (tương ứng ) nếu chúng hội tụ đều trên tất cả các tập con compact của (tương ứng ). Vì thế . Tuy nhiên yếu hơn .
Mệnh đề 1.2.3:
Nếu và đều trên các tập compact của thì
Chứng minh:
Rõ ràng là hạn chế của trên bất kỳ tập compact là liên tục. Nếu . Đặt thì compact vì thế .
Do đó liên tục trên .
Định nghĩa 1.2.4:
Giả sử . Chúng ta nói rằng (theo nghĩa yếu) nếu bất kỳ không gian con hữu hạn , theo nghĩa phân phối.
Khi là hữu hạn chiều thì theo nghĩa trên theo nghĩa phân phối.
Dưới đây là một số kết quả quen thuộc :
Mệnh đề 1.2.5:
Nếu ,, và ( tương ứng ) đều trên các tập compact của (tương ứng ) thì .
Mệnh đề 1.2.6:
Nếu , , (tương ứng liên tục Lipschitz) và theo nghĩa yếu thì (tương ứng ) và theo nghĩa ban đầu của .
Mệnh đề 1.2.7:
Nếu (tương ứng ) là bị chặn đều trên các tập con compact của (tương ứng ) thì là đồng liên tục đều trên (suy ra rằng có thể được phủ bởi các tập con mở mà ở đó là đồng liên tục)
§3. Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi trong
Ta ký hiệu là hình cầu tâm bán kính 1.
Định nghĩa 1.3.1:
Cho tập mở một hàm gọi là nửa liên tục trên (tương ứng gọi là nửa liên tục dưới) nếu nó thỏa mãn ta đều có tập (tương ứng ) là tập mở .
Định nghĩa 1.3.2:
Cho tập mở một hàm được gọi là đa điều hòa dưới nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện dưới đây:
i) là nửa liên tục trên.
ii) sao cho .
Ví dụ: Xét hàm . Khi đó rõ ràng thỏa mãn điều kiện i). Ta chứng minh chúng đa điều hòa bằng cách chứng minh chúng thỏa mãn điều kiện ii). Thật vậy: Lấy như trong ii)
+) Do nên theo công thức tích phân Cauchy với hàm chỉnh hình ta có :
Bằng ước lượng và tính toán đơn giản ta có thỏa mãn điều kiện ii)
+) Lấy là đa thức trên sao cho
với mọi . Từ đó suy ra rằng:
Do đó .
Theo nguyên lý mô đun cực đại ta có .
Từ đó theo định lý 34.8 trong [Mu] ta có thỏa mãn điều kiện ii).
Định nghĩa 1.3.3:
Cho tập mở . Hàm được định nghĩa bởi :
Định nghĩa 1.3.4:
Tập con mở được gọi là miền giả lồi nếu là hàm đa điều hòa dưới trên .
Ví dụ: Trong thì là miền giả lồi. Thật vậy, ta có:
Do là cân nên nếu thì ta có . Do đó
Đặt ,, . Thì khi đó
.
Xét
Mà do đó mà .
Vậy
Ta có .
Mà .
Nên
và
Tương tự ta có
.
Do đó mà . Vậy hàm thỏa mãn điều kiện Levi (Xem Định lý 2.6.2 trong [Ho]) nên là đa điều hòa dưới cũng là đa điều hòa dưới trên . Vì thế là giả lồi.
§4. Phương trình trong
Để giải phương trình trong không gian vô hạn chiều ta giải nó trong trường hợp sau đó cho ta được kết quả trong .
Cho ký hiệu hình xuyến chiều nó tác động lên bởi :
với
Trong mục này sẽ ký hiệu cho bất kỳ chuẩn trên mà bất biến dưới tác động và ký hiệu đặc biệt - chuẩn là một chuẩn như vậy.
đánh giá là chuẩn đối ngẫu trong và là số thực dương sao cho :
với
Định nghĩa 1.4.1:
Ký hiệu : đường kính của tập .
thể tích của tập
với được đo bởi chuẩn .
Bổ đề 1.4.2: (Định lý 4.4.2 [Ho])
đánh giá là tập giả lồi mở trong , là hàm đa điều hòa dưới trong . Đối với mọi với có một lời giải của phương trình sao cho :
Bổ đề 1.4.3:
Giả sử là dạng- nhận giá trị phức, bị chặn và đo được trên một tập giả lồi bị chặn . Nếu thì sao cho với thì
(1.3)
Ở đây chỉ toán tử Cauchy – Riemann được mở rộng để tác động trên các phân phối.
Chứng minh:
Giả sử . Ta có :
Theo bổ đề 1.4.2 ta có phương trình có một lời giải bình phương khả tích sao cho :
Thật vậy ta có .
Bằng thủ thuật quen thuộc ta sẽ dẫn đến tồn tại một lời giải sao cho :
(1.4)
Thật vậy, với thì điều này là hiển nhiên.
Với trường hợp tổng quát ta co về miền có đường kính bằng 1. Dưới phép co thì tỷ lệ giống . Trong khi đó tích không thay đổi. Như vậy ta có kết quả (1.4) trong trường hợp tổng quát.
Hơn thế nữa lời giải thậm chí liên tục. Theo [H] tồn tại lời giải địa phương liên tục của phương trình . Do đó chỉnh hình và liên tục.
Với , và . Ký hiệu là độ đo Lesbegue trên mà . Ta định nghĩa hàm trên bởi
Chúng ta sẽ đánh giá chuẩn Lipschitz của . Đầu tiên giả sử thì . Cũng thế là bất biến dưới tác động . Điều này suy ra rằng ; . Nó kéo theo rằng và vì thế với ta có :
(1.5)
Thật vậy, ta có (1.4) đúng với sử dụng phép xấp xỉ argument cho phép ta mở rộng (1.4) cho trường hợp tổng quát, bỏ đi giả thiết . Hơn thế nữa, ...

---