Download Chuyên đề Tiếp tuyến với tiệm cận - với trục tọa độ miễn phí
Ví dụ 2.Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị y = x^3 - 3 x^2 + 4 (C)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33377/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download choTóm tắt nội dung:
CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI TIỆM CẬN - VỚI TRỤC TỌA ĐỘ
BÀI TOÁN :
Cho hàm số : y=f(x;m), tìm m để hàm số có Cực đại , cực tiểu cùng với một điểm I tạo thành một tam giác đặc biệt ( cân, đều , vuông ).
Ví dụ 1. Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị .
b. Ta có :
- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : =0 có hai nghiệm phân biệt
- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi là hai điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A,B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA vuông góc với OB :
- Ta có :
- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có :
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
- Do đó :
- Áp dụng Vi-ét cho (1) , thay vào :
- Vậy :
Hay :
Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O .
Ví dụ 2.Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Đường thẳng d đi qua A(-1;0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y=k(x+1)=kx+k .
- Nếu d cắt (C) thì : , có ba nghiêm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt .
Vậy
Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C .Với A(-1;0) , do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :
- Gọi với là hai nghiệm của phương trình : . Còn .
- Ta có :
- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d :
- Vậy theo giả thiết :
Đáp số : , thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán .
Ví dụ 3.Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m=1
b. Tìm m để đường thẳng d : 2x+2y-1=0 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/8 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (H).
b. Đường thẳng d viết lại : . Nếu d cắt tại hai điểm A,B thì tọa độ A,B là nghiệm của hệ :
- Gọi
- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
- Theo giả thiết :
Hay : , thỏa mãn điều kiện (*) .
- Đáp số : m=1/2 .
Ví dụ 4.Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IABcó bán kính nhỏ nhất . Với I là giao hai tiệm cận .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b.Tiếp tuyến của (C) tại là
- d cắt tiệm cận đứng : x=-2 tại A
- d cắt tiệm cận đứng : y=2 tại B
- Như vậy :
- Ta có :
Do :
Dấu bằng xáy ra khi :
-Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 5. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Gọi I là giao hai tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam giác IAB vuông cân tại A .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x=-m; tiệm cận ngang : y=-1, do đó I(-m;-1) .
-Nếu B thuộc đồ thị hàm số thì :
- Ta có :
- Nếu tam giác IAB vuông cân tại A thì :
- Vậy với x=-2 , thì y=; Với x=2 , thì y=
Ví dụ 6. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Tìm tham số m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì :
. Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
- Gọi : . Với : là hai nghiệm của phương trình (1)
- Ta có : .
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h :
- Theo giả thiết :
Vậy :
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 7. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 .
b. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
b. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì :
- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ,CT . Gọi là hai điểm cực trị . Với là hai nghiệm của phương trình =0 (1) .
- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d : y= -2mx+2m+2 ..
- Ta có :
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì :
- Theo giả thiết :
Kết luận : với m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 8. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm tham số m để đường thẳng d : y=(m+1)x+m-2 cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Nếu đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì A,B có hoành độ là 2 nghiệm của phương trình :
Điều kiện :
- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B . Gọi là tọa độ hai giao điểm , với là hai nghiệm của phương trình (1).
- Ta có :
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB , h là khoảng cách từ O đến AB , theo giả thiết :
Ví dụ 9. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là :
- d cắt Ox tại điểm B.
- d cắt trục Oy tại điểm A :
- Diện tích tam giác OAB là S :
Ví dụ 10 . Cho hàm số (1)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2 .
b. Tìm m để đường thẳng d : y=x+4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B,C có hoành độ khác không; M(1;3) ).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :
- Ta có :
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì :
- Theo giả thiết : S=4
Kết luận : với m thỏa mãn : ( chọn ). Đáp số : m=3
Ví dụ 11. ( DB-2004 ). Cho hàm số (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m dể hàm số (1)có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có :
- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là :
. Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân , thì đỉnh sẽ là A .
- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.
Tam giác ABC vuông khi :
Vậy với m=-1 và m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
* Ta còn có cách khác
- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI=IB , với
. Hay :
Ví dụ 12. (KD-2007). Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thi...
