G.NTH
1
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+



+ tg . cotg = 1 (
2
k
) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2

2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2

+ tg2 =
)
2
k
4
(
tg1
tg2
2

+




+ cotg2 =
)
2
k
(
gcot2
1gcot
2


2cos1 +
+ sin
2
=
2
2cos1
+ tg
2
=
+

2cos1
2cos1
)k
2
( +


1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos
2
+
+ cos - cos = - 2sin
22

sin
+
+ sin + sin = 2sin

1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(
2
1
++
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tan
2
t
1+tan
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x
4cos
3
t - 3cost
4cos
3

+
t
t
2
tan1
tan2
+
t
t
2
tan1
tan2
+
= sin2t
xy1
yx

+


tantan1
tantan

+


tantan1
tantan

+

= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt



=
=
cosy
sinx
với [0, 2]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= r
2
(r > 0) thì đặt



=
=


cos

sin
và



=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)

2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S ++=







+=
(đpcm)
VD2: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:

Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1
b
a
1
a






4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44
44
+

+
++=+

+

=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+



4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4
2
=+=++






+







+



Đặt
+=



+=
+=




=
=
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a
22
A
2)
6
2sin(22cos
2
1
2sin
2
3
22cos2sin3


với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++



=
+=
Ta có:
137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++

R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5
R113cosR12sinR5










=

b) Nếu thấy |x| m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi


=


=

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p

sin2
2
cos2 =







+









+

=








2sin)2cos1(3sincos2cos321232
222
++=+=+ xxx
G.NTH
5
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2 +






π
+α=+






α+α

cos
2
sin21
33
αα
+≤






α
−
ααα
+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2







α
+
α
⇔
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
≤α=
α
−
α
=


a1−
= sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S=
)cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
α−α+α−α=α−α+α−α
=
2
4
3sin23cos3sin ≤






π
+α=α+α
⇒ (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng A =
(
)
211311
2222
≤−−−+−+− )b)(a(ababba
Gi¶i:
Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a
2
≥ 0 ; 1 - b
2



π
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
G.NTH
6
Giải:
Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có:
A =
13342624522424
323
==++++ coscoscos)cos()cos()cos(
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A =
2
2 3 3 2 [0,2]a a a a +
Giải:
Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có:
A =
=+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112
22
=
2
3

cos
1
tg
cos
1
2
2
2


=

)k( +


2
1) Phơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2

thì đặt x =
cos
1
với













2
3
,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
+

Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
cos
1
với










+=+=+=
+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 A =
2
2
a
1a125
9
1a
Giải:
G.NTH
7
Do |a| ≥ 1 nªn:
§Æt a =
αcos
1
víi α∈






α+
2sin6
2
)2cos1(5
=






+α+=






α−α+
13
5
arccos2cos
2
13
2
5
2sin
13
12
2cos


+α+=≤−+
(®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng: A =
ab
1b1a
22
−+−
≤ 1
; 1a b∀ ≥
Gi¶i:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .
§Æt a =
αcos
1
; b =
βcos
1
víi α∈






π
π∪




α
=
−
⇒






π
sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
;0
22
. Khi ®ã:
a+
22
2sin
22
sin
1

yy
y
xx
x
126
3
14
1
1
2
2
≤








+
−
+
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x =
αcos
1
; y=
βcos
1

cos
1
1. Phơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với








2
,
2
b) Nếu x R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtg với









2
,
2


=+
cos
x
1
1
2
, khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tg.cos - 4tg
3
.cos
3
| = |3sin - 4sin
3
| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
22
42
)a21(
a12a83
+
++
Giải:
Đặt a
2
= tg với

0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2
5
2
2sin
22
=

==

Với

= 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với

=
4

a =
2
1
thì MinA =
2
5



+

cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22
=
[ ]
2
1
2
2
1
+=++ )(sin)cos()sin(
(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222




+



cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
|sin(-)|+|sin(-)| |sin(-)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)|
|sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)|
|sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++
Giải:
(1)
1
d
b
1
a
c
1







+






+

++
+
++
Đặt tg
2
=
a
c
, tg
2
=
b
d
với ,


=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
+
G.NTH
10
Giải:
Đặt a = tg
2

. Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
.4
2
tg1
2
tg2
.3
1
2
tg

2
(3
2
+ 4
2
)(sin
2
+ cos
2
) = 25 A 5
Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
|cos|
3
sin
=

thì MaxA = 5
V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Phơng pháp:
a) Nếu



=+++
>
12
0
222
xyzzyx

===



tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu



=++
>
1zxyzxy
0z,y;x
thì













S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2

; y = tg
2

; z = tg
2

với , ,







2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg

+

2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg

tg
2


2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg
2
tg











+

=







+

2222222222
tgtg
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x








+

+











+









2

) + (cotg+cotg-2tg
2

) +(cotg+cotg-2tg
2

)
Để ý rằng: cotg + cotg =
)cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
+

=


=

+ 2
2
2

0
2
tg2gcotgcot

VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
)z1)(y1()x1(
xyz4
z1
z
y1
y
x1
x
222222

=

+

+

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
+ z
2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2

; y = tg
2


2
x1
x2

+
2
y1
y2

+
2
z1
z2

=
)z1)(y1()x1(
xyz8
222

tg+tg+tg = tg.tg.tg
G.NTH
12
⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔
βα−
β+α
tg.tg1
tgtg
= - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ)
Do α, β, γ ∈


+ y
2
+ z
2
) - (xy + yz + zx) =
2
1
[ ]
0)xz()zy()yx(
222
≥−+−+−
⇒ S = x
2
+ y
2
+ z
2
≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =
3
1
th× MinS = 1
VD3: Cho



=++
>
1zyx
0z,y,x
. Chøng minh r»ng: S =

z
xy γ
=
víi α, β, γ ∈






π
2
,0
Do
x
yz
.
z
xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz

β
22
= cotg
2
α
⇔ tg






γ
+
β
22
= tg






α
−
π
22
⇔
2
β

z
zxy
y
yzx
x
+














−
+
+








zx
1
y
zx
1
x
yz
1
x
yz
1
2
1
2
3
xyz
xyz
zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+







−
=
2
1
(cos + cosβ + cosγ) +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos
G.NTH
13

( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2

Bài 2:Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
= 5. CMR: 2a + b 10.
Bài 3:Cho



=+

2ba
0b;a
CMR: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Bài 4:Cho a; b ; c 1 CMR:













c
1
c
b
1
b
a
1
a
a
1
c
c
1
b
b
1
a
Bài 5:Cho



=+++
>
1xyz2zyx
0z;y;x


+
+

+
+

Bài 6:CMR:
ab1
2
b1
1
a1
1
22
+

+
+
+
a, b (0, 1]
Bài 7:CMR: (a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2) 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2

x
:CMR
xyzzyx
0z,y,x
222

+
+
+
+
+



=++
>
G.NTH
14
Bµi 10: Cho
222222
z1
z2
y1
y2
x1
x2
z1
1
y1
1