Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 
= + ≠ +

cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
Công thức hạ bậc: cos
2
a =
1

u v k
π
π π
= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2

cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2

x
t =
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x

Chuyên đề: LG
2
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = +
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0

=





= + = +




¢
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x−1) = sin
6
x(1−2sin
2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos 4 ) 2
2(cos2 cos 2 cos4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈¢
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:

13
4 4
2
t
t t t t
t

=

+ + = ⇔ + − = ⇔


= −


Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin

sin -cos ,( )
2 (
4
t
π
x x x nπ n
t lo
=

⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈

= −

¢
¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x nπ= − +
;
2 , ( , ) x kπ n k= ∈¢
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
π x=
(6).

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =
= = ∈
 

 
 
¢
¢
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x− =
.
Giải
Đặt
2
( )=cos
2
x
f x x +
. Dễ thấy f(x) = f(−x),
x∀ ∈¡

x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
Chuyên đề: LG
4
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
, ta có minf(x) = f
4
π
 
 ÷
 
=
2
2
2
n−

Vậy x =

3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k
π
=
.
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − +
với
1
sin
4
α
= −
.

HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=
.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−

10.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈¢
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) ⇔2sinxcosx+2cos
2

⇒ =

=


loaïi
…(biết giải)
Chuyên đề: LG
5
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1t ≤
.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.

2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)
Điều kiện:
sin 2 0x
≠
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +
 ÷
 
2

π
 
− = −
 ÷
 
(cosx
)0≠
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
π
 
 
⇔ − − = −
 ÷
 
 
 
⇔
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0
⇔
sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
18. Giải phương trình:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − =
.
Giải


− =

⇔ ⇔ =


+ − =



=

lo
,
3
2
x k
k
x k
π
π
π

= +

⇔ ∈

=

Z

3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x+ + =
tan 0 x x k
π
⇔ = ⇔ =
20. Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải
Điều kiện:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


≠


Từ (1) ta có:
( )

π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈ ¢Z
21. Giải phương trình:
cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x

sinx + cosx = 0
Giải
3 sin cos 2cos3 0x x x+ + =
⇔ sin
3
π
sinx + cos
3
π
cosx = – cos3x.
Chuyên đề: LG
7
⇔ cos
cos3
3
x x
π
 
− =−
 ÷
 
⇔ cos
cos( 3 )
3
x x
π
π
 
− = −
 ÷

3
x =
2 3 2
8
+
Giải
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
8
+
⇔
( )
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − =
⇔
2
cos 4 ,

 ÷  ÷  ÷
 
     
 
*
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
π π
 
   
+ = + + = −
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
( )
1 1
2 cos2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − =
Đặt
cos2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
π

y
2 4 2+
2 4 2−
Trong đoạn
2; 2
 
−
 
, hàm số
2
4y t t= +
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 4 2−
tại
2t = −
và đạt giá trị lớn
nhất là
2 4 2+
tại
2t =
.
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 4 2 2 2 2 4 2m− ≤ − ≤ +
2 2 2 2m⇔ − ≤ ≤
.
−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−
Chuyên đề: LG
8
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(Khối A_2003)
Giải
ĐS:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈Z
3. Giải phương trình:
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(Khối A_2005)
Giải
Chuyên đề: LG
9
ĐS:
( )
2
k
x k
π
= ∈Z
4. Giải phương trình:

4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈Z
6.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(Khối A_2008)
Giải
Chuyên đề: LG
10
ĐS:

KHỐI B
8. Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(Khối B_2002)
Giải
ĐS:
( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈Z
9. Giải phương trình
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(Khối B_2003)
Giải
Chuyên đề: LG
11
ĐS:
( )
,
3
x k k
π

12. Giải phương trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
(Khối B_2006)
Giải
Chuyên đề: LG
12
ĐS:
( )
5
; ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈Z
13. Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x+ − =
(Khối B_2007)
Giải
ĐS:
( )
2 5 2

x x k k
π π π
π
= + = − − ∈Z
KHỐI D
Chuyên đề: LG
13
16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002)
Giải
ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =
17.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(Khối D_2003)
Giải
ĐS:

   
(Khối D_2005)
Giải
Chuyên đề: LG
14
ĐS:
( )
,
4
x k k
π
π
= + ∈Z
20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006)
Giải
ĐS:
( )
2
2 ,
3
x k k
π
π
= ± + ∈Z
21. Giải phương trình
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x

Giải
ĐS:
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈Z
24. Giải phương trình (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải
ĐS:
( )
5
, ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈Z
25. Giải phương trình
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0x x x x− − =
(Khối D_2009)
Giải
ĐS:
( )
, ,