HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP
XÁC SUT THNG KÊ
(Dùng cho sinh viên ngành CNTT và TVT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2006

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

cng chi tit chng trình qui đnh ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung
ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc khi k thu
t và theo kinh nghim
ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc
tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng khi k thut.
Giáo trình gm 6 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Các khái nim c bn v xác sut.
Chng II: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng III: Véc t
ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng IV: Lut s ln và đnh lý gii hn.
Chng V:.Thng kê toán hc
Chng VI: Quá trình ngu nhiên và chui Markov.
iu kin tiên quyt môn hc này là hai môn toán cao cp đi s và gii tích trong chng
trình toán đi cng. Tuy nhiên vì s hn ch ca chng trình toán dành cho hình thc đào to t
xa, do đó nhiu kt qu và đnh lý ch đc phát bi
u và minh ha ch không có điu kin đ
chng minh chi tit.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc
cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn
gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt
và ch dn rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc
m rng tng quát hn các kt qu và hng ng dng vào thc t. Hu ht các bài toán đc xây
dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s
tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu
thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các
thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn

ra có tính quy lut, tt đ
nh. Trái li khi tung đng xu ta không bit mt sp hay mt nga s xut
hin. Ta không th bit có bao nhiêu cuc gi đn tng đài, có bao nhiêu khách hàng đn đim
phc v trong khong thi gian nào đó. Ta không th xác đnh trc ch s chng khoán trên th
trng chng khoán… ó là nhng hin tng ngu nhiên. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá
nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong nhng hoàn c
nh nh nhau, thì trong nhiu trng hp
ta có th rút ra nhng kt lun có tính quy lut v nhng hin tng này. Lý thuyt xác sut
nghiên cu các qui lut ca các hin tng ngu nhiên. Vic nm bt các quy lut này s cho phép
d báo các hin tng ngu nhiên đó s xy ra nh th nào. Chính vì vy các phng pháp ca lý
thuyt xác sut đc ng dng rng rãi trong vic gii quyt các bài toán thu
c nhiu lnh vc
khác nhau ca khoa hc t nhiên, k thut và kinh t-xã hi.
Chng này trình bày mt cách có h thng các khái nim và các kt qu chính v lý thuyt
xác sut:
- Các khái nim phép th, bin c.
- Quan h gia các bin c.
- Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê.
- Các tính cht ca xác sut: công th
c cng và công thc nhân xác sut, xác sut ca
bin c đi.
- Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác
sut đy đ và đnh lý Bayes.
- Dãy phép th Bernoulli và xác sut nh thc
Khi nm vng các kin thc v đi s tp hp nh hp, giao tp hp, tp con, phn bù ca
mt tp con … hc viên s
 d dàng trong vic tip thu, biu din hoc mô t các bin c.
 tính xác sut các bin c theo phng pháp c đin đòi hi phi tính s các trng hp
thun li đi vi bin c và s các trng hp có th. Vì vy hc viên cn nm vng các phng
pháp đm - gii tích t hp (đã đc hc  lp 12 và trong ch

̇ Phép th tung đng thi 2 đng xu có không gian mu là

{}
),(),,(),,(),,( NNSNNSSS=Ω .
Chú ý rng bn cht ca các bin c s cp không có vai trò đc bit gì trong lý thuyt xác
sut. Chng hn có th xem không gian mu ca phép th tung đng tin là
{}
1,0=Ω , trong đó 0
là bin c s cp ch mt sp xut hin và 1 đ ch mt nga xut hin.
1.1.2. Bin c (Event)
Vi phép th
C ta thng xét các bin c (còn gi là s kin) mà vic xy ra hay không
xy ra hoàn toàn đc xác đnh bi kt qu ca
C .
Mi kt qu
ω
ca C đc gi là kt qu thun li cho bin c A nu A xy ra khi kt
qu ca
C là
ω
.
Ví d 1.2: Nu gi
A là bin c s nt xut hin là chn trong phép th tung xúc xc  ví
d 1.1 thì
A
có các kt qu thun li là 2, 4, 6.
Tung hai đng xu, bin c xut hin mt mt sp mt mt nga (xin âm dng) có các kt
qu thun li là
),(;),( SNNS .
Nh vy mi bin c

Tng ca hai bin c
BA, là bin c đc ký hiu
BA ∪ . Bin c BA ∪ xy ra khi và ch
khi có ít nht
A hoc
B xy ra.
Tng ca mt dãy các bin c
{ }
n
AAA ,...,,
21
là bin c
∪
n
i
i
A
1=
. Bin c này xy ra khi có
ít nht mt trong các bin c
i
A xy ra.
d. Tích ca hai bin c
Tích ca hai bin c
BA, là bin c đc ký hiu
AB . Bin c AB xy ra khi và ch khi
c hai bin c
A ,
B cùng xy ra.
Tích ca mt dãy các bin c

i. Xung khc tng đôi mt, ngha là
φ
=
ji
AA
vi mi
nji ,...,1
=≠
,
ii. Tng ca chúng là bin c chc chc, ngha là
Ω=
=
∪
n
i
i
A
1
.
c bit vi mi bin c
A , h
{ }
AA, là h đy đ.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

6
Ví d 1.3: Mt nhà máy có ba phân xng sn xut ra cùng mt loi sn phm. Gi s rng
mi sn phm ca nhà máy ch do mt trong ba phân xng này sn xut. Chn ngu nhiên mt
sn phm, gi
321

CBA ,, ln
lt là bin c A, B, C bn trúng mc tiêu.
a. Hãy mô t các bin c:
,,ABC A B C A B C∪∪.
b. Biu din các bin c sau theo
CBA ,, :
-
:D Có ít nht 2 x th bn trúng.
- :E Có nhiu nht 1 x th bn trúng.
-
:F Ch có x th C bn trúng.
-
:G Ch có 1 x th bn trúng.
c. Các bin c
CBA ,, có xung khc, có đc lp không ?
Gii:
a.
ABC : c 3 đu bn trúng.
A BC : c 3 đu bn trt. CBA ∪∪ : có ít nht 1 ngi
bn trúng.
b. CABCABD ∪∪= .
Có nhiu nht mt x th bn trúng có ngha là có ít nht hai x th bn trt, vy

ACCBBAE ∪∪= .
CBAF = . CBACBACBAG ∪∪= .
c. Ba bin c
CBA ,, đc lp nhng không xung khc.
1.2. NH NGHA XÁC SUT VÀ CÁC TÍNH CHT
Vic bin c ngu nhiên xy ra hay không trong kt qu ca mt phép th là điu không th
bit hoc đoán trc đc. Tuy nhiên bng nhng cách khác nhau ta có th đnh lng kh nng

=
A
A
AP
cña tö phÇn sè
cña tö phÇn sè
)(
(1.1)’
Ví d 1.5: Bin c A xut hin mt chn trong phép th gieo con xúc xc  ví d 1.1 có 3
trng hp thun li (
3=A ) và 6 trng hp có th ( 6=Ω ). Vy
2
1
6
3
)( ==AP
.
 tính xác sut c đin ta s dng phng pháp đm ca gii tích t hp.
1.2.2. Các qui tc đm
a. Qui tc cng
Nu có
1
m cách chn loi đi tng
1
x ,
2
m cách chn loi đi tng
2
x , ... ,
n

cách thc hin công vic H .
c. Hoán v
Mi phép đi ch ca
n phn t đc gi là phép hoán v n phn t. S dng quy tc
nhân ta có th tính đc:
Có
!n
hoán v
n
phn t.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

8
d. Chnh hp
Chn ln lt
k phn t không hoàn li trong tp
n
phn t ta đc mt chnh hp chp
k ca n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc s các chnh hp chp k ca n phn
t là

)!(
!
kn
n
A
k
n
−
= (1.2)

là bin c “ trong 2 ln tung con xúc xc có 1
ln đc mt 6”. Nu ln th nht ra mt 6 thì ln th hai ch có th ra các mt t 1 đn 5, ngha là
có 5 trng hp. Tng t cng có 5 trng hp ch xut hin mt 6  ln tung th hai. Áp dng
quy tc cng ta suy ra xác sut đ ch có mt ln ra mt 6 khi tung xúc xc 2 ln là
36
10
.
Ví d 1.7: Cho các t mã 6 bit đc to t các chui các bit 0 và bit 1 đng kh nng. Hãy
tìm xác sut ca các t có cha
k bit 1, vi
6,...,0
=k
.
Gii: S trng hp có th
6
2=Ω . t
k
A là bin c " t mã có cha
k
bit 1" . Có th
xem mi t mã có cha
k bit 1 là mt t hp chp k ca 6 phn t, vy s trng hp thun li
đi vi
k
A là s các t hp 6 chp k . Do đó
)!6(!
!6
6
kk
CA

A là
1. Do đó
90
1
)( =AP .
Ví d 1.9: Mt công ty cn tuyn 2 nhân viên. Có 6 ngi np đn trong đó có 4 n và 2
nam. Gi s kh nng trúng tuyn ca c 6 ngi là nh nhau. Tính xác sut bin c:
a. Hai ngi trúng tuyn là nam
b. Hai ngi trúng tuyn là n
c. Có ít nht 1n trúng tuyn.
Gii: S trng hp có th
2
6
15CΩ= = .
a. Ch có 1 trng hp c 2 nam đu trúng tuyn do đó xác sut tng ng là
15/1=P
.
b. Có
6
2
4
=C cách chn 2 trong 4 n, vy xác sut tng ng 15/6
=P .
c. Trong 15 trng hp có th ch có 1 trng hp c 2 nam đc chn, vy có 14 trng
hp ít nht 1 n đc chn. Do đo xác sut tng ng
15/14
=P
.
1.2.3. nh ngha thng kê v xác sut
nh ngha xác sut theo c đin trc quan, d hiu. Tuy nhiên khi s các kt qu có th vô

n
khi n đ ln.
Ví d 1.10: Mt công ty bo him mun xác đnh xác sut đ mt ngi M 25 tui s b
cht trong nm ti, ngi ta theo dõi 100.000 thanh niên và thy rng có 798 ngi b cht trong
vòng 1 nm sau đó. Vy xác sut cn tìm xp x bng 0,008.
Ví d 1.11: Thng kê cho thy tn sut sinh con trai xp x 0,513. Vy xác sut đ bé trai ra
đi ln hn bé gái.
Nhn xét: nh ngha xác sut theo thng kê khc phc đc hn ch ca đnh ngha c
đin, nó hoàn toàn da trên các thí nghim quan sát thc t đ tìm xác sut ca bin c. Tuy nhiên
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

10
đnh ngha thng kê v xác sut cng ch áp dng cho các phép th mà có th lp li đc nhiu
ln mt cách đc lp trong nhng điu kin ging ht nhau. Ngoài ra đ xác đnh mt cách tng
đi chính xác giá tr ca xác sut thì cn tin hành mt s
n đ ln ln các phép th, mà vic này
đôi khi không th làm đc vì hn ch v thi gian và kinh phí.
Ngày nay vi s tr giúp ca công ngh thông tin, ngi ta có th mô phng các phép th
ngu nhiên mà không cn thc hin các phép th trong thc t. iu này cho phép tính xác sut
theo phng pháp thng kê thun tin hn.
1.2.4. nh ngha xác sut theo hình hc
nh ngha 1.3: Gi s không gian mu
Ω
có th biu din tng ng vi mt min nào
đó có din tích (th tích, đ dài) hu hn và bin c
A
tng ng vi mt min con ca
Ω
thì
xác sut ca bin c

A là bin c hai ngi gp nhau thì
{ }
15);( ≤−Ω∈= yxyxA
{ }
1515);( +≤≤+−Ω∈= xyxyx
.
16
7
16
9
1
60
45
1)(
2
2
=−=−=
Ω
=⇒
tÝch diÖn
tÝch diÖn A
AP
.
1.2.6. Các tính cht và đnh lý xác sut
1.2.6.1. Các tính cht ca xác sut
Các đnh ngha trên ca xác sut tho mãn các tính cht sau:
1. Vi mi bin c


∑
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
1
1
)(
∪
. (1.7)’
T công thc (1.6) và (1.7)’ ta có h qu: Nu
{ }
n
AAA ,...,,
21

1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=
−+−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑∑

∪


)(1)( APAP −=
. (1.10)
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

12
1.2.5. Nguyên lý xác sut ln, xác sut nh
Mt bin c không th có xác sut bng 0. Tuy nhiên mt bin c có xác sut bng 0 vn có
th xy ra trong mt s ln các phép th. Qua thc nghim và quan sát thc t, ngi ta thy rng
các bin c có xác sut nh s không xy ra khi ta ch thc hin mt phép th hay mt vài phép
th. T đó ta tha nhn nguyên lý sau đây, gi là “Nguyên lý xác su
t nh”: Nu mt bin c có
xác sut rt nh thì thc t có th cho rng trong mt phép th bin c đó s không xy ra.
Chng hn mi chic máy bay đu có mt xác sut rt nh b xy ra tai nn. Nhng trên
thc t ta vn không t chi đi máy bay vì tin tng rng trong chuyn bay ta đi s kin máy bay
ri không xy ra.
Hi
n nhiên vic quy đnh mt mc xác sut th nào đc gi là nh s ph thuc vào tng
bài toán c th. Chng hn nu xác sut đ máy bay ri là 0,01 thì xác sut đó cha th đc coi
là nh. Song nu xác sut mt chuyn tàu khi hành chm là 0,01 thì có th coi rng xác sut này
là nh.
Mc xác sut nh này đc gi là mc ý ngha. Nu
α
là mc ý ngha thì s
αβ
−= 1 gi
là đ tin cy. Khi da trên nguyên lý xác sut nh ta tuyên b rng: “Bin c
A có xác sut nh
(tc là
α

. (1.11)
Ü Khi c đnh
A vi 0)( >AP thì xác sut có điu kin
( )
ABP có tt c các tính cht
ca xác sut thông thng (công thc (1.5)-(1.10)”) đi vi bin c
B .
Chng hn:

( )
()()( ) ( ) ( )
ABBPABPABPABBPABPABP
212121
,1 −+=∪−= .
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

13
Ví d 13: Gieo đng thi hai con xúc xc cân đi. Tính xác sut đ tng s nt xut hin
trên hai con xúc xc
10≥ bit rng ít nht mt con đã ra nt 5.
Gii: Gi
A là bin c " ít nht mt con ra nt 5".
()
2
511
() 1 1
636
PA P A
⎛⎞
=− =− =

21
là càc bin c đc lp thì
()( ) ( ) ( )
nn
APAPAPAAAP ......
2121
= . (1.13)
1.3.2.2. Trng hp tng quát:
̇
( )
ABPAPABP )()( = (1.14)
̇
()
()
()
( ) ( )
12 1 2 1 3 12 12 1
... ... ...
nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−
= . (1.15)
Ví d 1.14: Túi I cha 3 bi trng, 7 bi đ, 15 bi xanh.
Túi II cha 10 bi trng, 6 bi đ, 9 bi xanh.
T mi túi ly ngu nhiên 1 bi. Tìm xác sut đ 2 bi đc rút t 2 túi là cùng màu.
Gii: Gi
xđt
AAA ,, ln lt là bin c bi đc rút t túi I là trng, đ, xanh.

xđt

3
≈=++=
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

14
Ví d 1.15: Mt th kho có mt chùm chìa khóa gm 9 chic, b ngoài chúng ging ht
nhau nhng trong đó ch có đúng 2 chic m đc kho. Anh ta th ngu nhiên tng chìa (chìa nào
không trúng thì b ra). Tính xác sut đ m đc kho  ln th ba.
Gii: Ký hiu
i
A là bin c "th đúng chìa  ln th i". Vy xác sut cn tìm là
()()
()
()
123 1 2 1 312
762 1
987 6
PAAA PA PA A PA AA===
.
1.3.3. Công thc xác sut đy đ
nh lý 1.3: Nu
{ }
12
, , ...,
n
AA A là mt h đy đ các bin c. Vi mi bin c B ca
cùng mt phép th, ta có
()
1

ii
i
PA PB A
PAB
PA B
PB
PA PB A
=
==
∑
. (1.17)
Gii thích: Trong thc t các xác sut
{ }
12
( ), ( ), ..., ( )
n
PA PA PA đã bit và đc gi là
các xác sut tin nghim. Sau khi quan sát bit đc bin c
B xy ra, các xác sut ca
k
A đc
tính trên thông tin này (xác sut có điu kin
( )
BAP
k
) đc gi là xác sut hu nghim. Vì vy
công thc Bayes còn đc gi là công thc xác sut hu nghim.
Ví d 1.16: Mt trm ch phát hai tín hiu A và B vi xác sut tng ng 0,85 và 0,15. Do
có nhiu trên đng truyn nên 1/7 tín hiu A b méo và thu đc nh tín hiu B còn 1/8 tín hiu
B b méo và thu đc nh A.

7
6
85,0)()( =×+×=+= BTPBPATPAPTP
AAA
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

15
b. Áp dng công thc Bayes ta có
()
()
()
975,0
7473,0
7
6
85,0
)(
=
×
==
A
A
A
TP
ATPAP
TAP
.
Ví d 1.17: Ngi ta dùng mt thit b đ kim tra mt loi sn phm nhm xác đnh sn
phm có đt yêu cu không. Bit rng sn phm có t l ph phm là

(1 ) (1 )
PHA
p
PH A
p p
PA
α
α β
−
==
−+−
.
c.
()
( )
( )
( )
( )
() (1 )PAHPAH PHPAHPHPAH p p
α β
+= + =+−.
1.4. DÃY PHÉP TH BERNOULLI
Dãy các phép th lp li, đc lp, trong mi phép th ch có 2 kt cc:
A ,
A
và xác sut
xut hin ca bin c
A không đi )10(,)(
<<= ppAP đc gi là dãy phép th Bernoulli.
p là xác sut thành công trong mi ln th.


16
Mi bin c này có xác sut
knk
knk
ppAAAAP
−
−
−= )1()......(

lÇn lÇn
.
Vy
knkk
nn
ppCpkP
−
−= )1();( .
nh lý 1.2:
(i).
);1(
)1(
);( pkP
kq
pkn
pkP
nn
−
+−
=

knk
n
pkP
pkP
knk
knk
n
n
)1(
)!1()!1(
!
)!(!
!
);1(
);(
11
+−
=
+−−
−
=
−
+−−
−
, t đó có (1.19).
(1.19)
pkn
pk
pkP
pkP

< ∀ 1)1( −+< pnk .
và
);1();( pkPpkP
nn
+> khi pnk )1( +≥

⇒ );();( pmPpkP
nn
< ∀ pnk )1( +> ,
trong đó
m là s t nhiên tha mãn pnmpn )1(1)1(
+≤≤−+ .
Khi
pnm )1( += thì
()
1
1)1(
)1)(1(
);(
);1(
=
++−
−+
=
−
ppnn
ppn
pmP
pmP
n

b) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin là
( )
784,06,01
3
=−=P .
c) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin khi phát
n
ln là
()
n
P 6,01−= .
Vy nu mun xác sut thu đc tin
9,0≥
thì phi phát đi ít nht n ln sao cho:
() ()
( )
()
504,4
778,01
1
6,0lg
1,0lg
1,06,09,06,01 =
=−
−
=≥⇔≤⇔≥− n
nn
. Chn 5=n .
TÓM TT
Phép th

n
n
)(
)()( =≈
trong đó )(Ak
n
s ln xut hin bin
c
A trong n phép th.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

18
Nguyên lý xác sut nh
Nu mt bin c có xác sut rt nh thì thc t có th cho rng trong mt phép th bin c
đó s không xy ra.
Nguyên lý xác sut ln
Nu bin c A có xác sut gn bng 1 thì trên thc t có th cho rng bin c đó s xy ra
trong mt phép th.
Quan h kéo theo
Bin c A kéo theo bin c B , ký hiu BA ⊂ , nu A xy ra thì B xy ra.
Quan h bin c đi

A
là bin c đi ca A . A xy ra khi và ch khi
A
không xy ra.
Tng ca hai bin c
Bin c
BA ∪ tng ca hai bin c BA, xy ra khi và ch khi có ít nht A hoc B xy ra.
Bin c tng

21
xy ra khi tt c các bin c
i
A
cùng xy ra.
Bin c xung khc
Hai bin s
BA, gi là xung khc nu AB là bin c không th.
H đy đ các bin c
Dãy các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là mt h đy đ các bin c nu chúng xung khc
tng đôi mt và tng ca chúng là bin c chc chc.
Tính đc lp ca các bin c
Hai bin c
A và B đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c
này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia.
Tng quát các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra
ca mt nhóm bt k
k bin c, trong đó nk
≤≤1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay
không xy ra ca các bin c còn li.
Qui tc cng
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

)()()()()()()()( ABCPCAPBCPABPCPBPAPCBAP +
−−−++=∪∪
)...()1()()()(
21
1
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=
−+−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

()
()
( )
( ) ( )
12 1 2 1 3 12 12 1
... ... ...
nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−
= .
Công thc xác sut đy đ
Gi s
{ }
12
, , ...,
n
AA A là mt h đy đ . Vi mi bin c B ta có:
()
1
() ( )
n
ii
i
PB PA P B A
=
=
∑
.
Công thc Bayes
Nu

∑
.
Dãy phép th Bernoulli
Dãy các phép th lp li, đc lp, trong mi phép th ch có 2 kt cc:
A ,
A
và xác sut
xut hin ca bin c
A không đi )10(,)( <<= ppAP đc gi là dãy phép th Bernoulli.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

20
Khi
[]
pnm )1( +=
thì
mnmm
nn
ppCpmP
−
−= )1();( đt giá tr ln nht. Gi m là giá tr
có kh nng xy ra ln nht ca dãy phép th Bernoulli.
CÂU HI ÔN TP VÀ BÀI TP
1.1 Ta có th có hai không gian mu
Ω các bin c s cp cho cùng mt phép th C ?
úng Sai .
1.2 Các bin c
A
và BA∪ là xung khc.
úng Sai .

1.11 Trong mt hòm đng 10 chi tit đt tiêu chun và 5 chi tit là ph phm. Ly đng thi 3
chi tit. Tính xác sut:
a) C 3 chi tit ly ra thuc loi đt tiêu chun.
b) Trong s 3 chi tit ly ra có 2 chi tit đt tiêu chun.
1.12 Thang máy ca mt tòa nhà 7 tng xut phát t tng mt vi 3 khách. Tìm xác sut đ:
a) Tt c cùng ra  t
ng bn.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

21
b) Tt c cùng ra  mt tng
c) Mi ngi ra mt tng khác nhau.
1.13 Mt ngi gi đin thoi cho bn nhng li quên mt 3 ch s cui và ch nh rng chúng
khác nhau. Tìm xác sut đ ngi đó quay s mt ln đc đúng s đin thoi ca bn.
1.14 Ta kim tra theo th t mt lô hàng có 10 s
n phm. Mi sn phm thuc mt trong hai loi:
Tt hoc Xu. Ký hiu
k
A (
10,1=k ) là bin c ch sn phm kim tra th k thuc loi xu.
Biu din các bin c sau theo
k
A :
a) C 10 sn phm đu xu.
b) Có ít nht mt sn phm xu.
c) Có 6 sn phm kim tra đu là tt, các sn phm còn li là xu.
d) Có 6 sn phm kim tra đu là xu.
1.15 Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu. Kh nng bn trúng ca tng ngi là 0,8 và 0,9.
Tìm xác sut:
a) Ch có mt ngi bn trúng mc tiêu.

th nht, nhóm th hai, nhóm th ba và nhóm th t theo th t là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chn
ngu nhiên mt x th và bit rng x th này bn trt. Hãy xác đnh xem x th này có kh
nng  trong nhóm nào nht.
1.23 Bn hai ln đc lp vi nhau mi ln mt viên đn vào cùng mt bia. Xác sut trúng đích ca
viên đn th nht là
7,0 và ca viên đn th hai là 4,0 . Tìm xác sut đ ch có mt viên đn
trúng bia (bin c A). Sau khi bn, quan trc viên báo có mt vt đn  bia. Tìm xác sut đ
vt đn đó là vt đn ca viên đn th nht.
1.24 Mt nhà máy sn xut mt chi tit ca đin thoi di đng có t l sn phm đt tiêu chun
cht lng là 85%. Trc khi xut xng ngi ta dùng mt thi
t b kim tra đ kt lun sn
phm có đt yêu cu cht lng hay không. Thit b có kh nng phát hin đúng sn phm đt
tiêu chun vi xác sut là 0,9 và phát hin đúng sn phm không đt tiêu chun vi xác sut
là 0,95. Tìm xác sut đ 1 sn phm đc chn ngu nhiên sau khi kim tra:
a) c kt lun là đt tiêu chun.
b) c kt lu
n là đt tiêu chun thì li không đt tiêu chun.
c) c kt lun đúng vi thc cht ca nó. Chng 2: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng 23
CHNG II: BIN NGU NHIÊN VÀ CÁC C
TRNG CA CHÚNG
PHN GII THIU
Trong chng này ta kho sát các bin c gn vi các giá tr nào đó, khi các giá tr này thay
đi ta đc các bin ngu nhiên.
Khái nim bin ngu nhiên (còn đc gi là đi lng ngu nhiên) và các đc trng ca

hin bin c A nào đó. Quá trình đn ca các h phc v.
- Quy lut phân b đu, quy lut phân b đu trên mt đon là quy lut phân b xác sut
ca bin ngu nhiên liên tc đng kh nng ly giá tr trong khong đó. Quy lut phân
b đu có ng dng rng trong thng kê toán. Nó có ý ngha to ln trong các bài toán
s dng phng pháp phi tham s.