MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO
THCS

1) Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,
2) Một số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)
b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c
Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì
thì bất đẳng thức không đổi chiều.
c) Nếu a>b+c thì a-c>b
Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d
Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều.
Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d
Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta
đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
Nếu a>b và c<0 thì ac
Tức là:
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng
thức không đổi chiều
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng
thức đổi chiều.

=A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
=A
2
-2AB+B
2
(A+B+C)
2
=A
2
+B
2
+C
2
+2AB+2AC+2BC
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
(A-B)

ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
Với
thì
Giải:
Dùng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 2 đúng.
+ Với n = k đúng cần chứng minh
(để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì

4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:
Với 2 số a,b không âm ta có:
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Chứng minh:
Dấu "=" xảy ra khi a=b.
Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):
Cho n là số tự nhiên thì
Dấu "=" xảy ra khi
Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có:
(1)
(2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta được
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Cách khác:
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski