Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
54
Bài 6: Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
( , )
1
7 1 4 2
x
x y
x y R
y
x y

 
 

 

  


 

 
 


 


4 2
i i
 
 
 
 
 

Bài 8: Giải các hệ phương trình:
a.
2 10
2 20
3 (1 ) 30
x iy z
x y iz
ix iy i z
  


  


   

b.
3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z

i
z z
  




 

Căn bậc hai của số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
a.
17 20 2 .z i 
b.
1 2
4 2
i c.
40 42i 
d. 11 4 3i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 i.3 b. 4 + 6 i.5 c. -1 - 2 i.6 d. -5 + 12.i
Đs:
a. ).23( i b. ).53( i c. ).32( i d.  (2 + 3i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. i341 b. i564 c. i621


3 3
i i
 
 
    
 
 
;1 2 cos sin
4 4
i i
 
 
  
 
 
.
Do đó (1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i
 
 
     
 
 
.
b. Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
i

      
   
   

Bài 2: Tuỳ theo góc

, hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1 cos sin )(1 cos sin ).i i
   
   
Giải:
Xét số phức (1 cos sin )(1 cos sin )z i i
   
     , ta có
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
z i i
     
  
2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin ))
2 2 2 2 2 2
i i
i
     
     

  


- Nếu sin  = 0  z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1. cosa – isina, a  [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a  [0;2).
3. cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2)
Giải:
Ta có:
1. cos sin cos(2 ) sin(2 ) a i a a i a
 
     khi a  [0;2)
2.
 
2
sin 1 cosz a i a    2sin
2
a
cos
2
a
+ 2icos
2
2
a
= 2cos
2
a
(sin
2
a
+ i cos

a
< 0  z
2
= -2cos
2
a
(cos(
3
2

-
2
a
) + i sin (
3
2

-
2
a
)
- Nếu a  z
2
= 0(cos0 + isin0)
3.
 
3
cos sin sin – cosz a a i a a   
2
(cos

cos sin
3 3
i
 
 
   
  
   
 
   
 

(1+ i) = 2 cos sin
4 4
i
 
 

 
 

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:
(1- i 3 )(1 + i) = 2
2 cos sin
12 12
i
 
 
   
  

2 2i
=
1
(1 )
4
i =
1
2 cos sin
4 4 4
i
 
 
   
  
   
 
   
 
=
2
cos sin
2 4 4
i
 
 
   
  
   
 
   

 

Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.
3 1
3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
   
 
 
     
        
 
     
 
 
     
 
 

Suy ra:
 
2
2
3 2 cos sin 4 cos sin
6 6 3 3
i i i
   
 
   

3
(cos 0)
2
z z

 
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng: cos sinz i
 
 
a.
 
 
   
1 1 1 1
cos sin cos sin
2 cos sin 2 2
2
i i
i
z
   
 
          
 


   
1
cos sin

2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
      
 
   
      
   
 
   
 

- Nếu
2
3 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
   
 
     
 
 

3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
      
 

2
Acgument

 
- Nếu
2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
   
 
 
   
       
   
 
   
 

2
Acgument


  
Bài 2: Tính:
 
 
 
5

 
   
   

 

 
 

www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
58
10
10
35 35 5 5
2 cos sin cos sin
2 2 6 6
40 40
2 cos sin
3 3
i i
i
   
 
  
 
  
  


iz
có một acgument
là .
6


Giải:
2
2
2
cos sin cos( ) sin( )
2 2 2 6 3
(cos sin )
1 3 3 3
( ) 1 1 1
2 2 2 2 2 4
iz ri r r i
z r i
r r r r
r i i iz r r
    
     
 
 
          
 
 
 
 
           

1 i
có một acgumen là
4

nên
1
z
i

có một acgumen là
4


  .
Theo giả thiết ta có
3
2 2 ( )
4 4 2
k l l
  
   
         
Vậy dạng luợng giác của z là: 2 cos sin
2 2
z i
 
 
 
 
 

 
 
  
 
 
và
4 4
1 3 2 cos sin
3 3
i i
 
 
   
 
 

Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi
5 sin 5 1A cos i
 
   
.
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
59
a.
 
10
9

Giải :
a.
10
5
9 4
9
5 5
2 cos sin
2 cos sin
4 4
1 1
2 2
(cos sin )
3 3
16
2
2 cos sin
2 cos sin
2 2
6 6
i
i
A i
i
i
 
 
 
 
 

3 3 3 3 3 3
i i i i i i
     
   
       
     
       
   
       
   

 
7 7 7
7 7
2 cos sin cos sin 2 cos2 sin 2 2 128
3 3 3 3
i i i i i i i
   
 
 
     
        
     
 
     
 

Vậy phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 128.
c. Từ
2


Khi cos sin
3 3
z i
 
  .
Ta có
2009
2009
2009
2009
1 1
cos sin
3 3
cos sin
3 3
z i
z
i
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 


2009
2009
1
cos sin 1
3 3
z i z
z
 
   
      
   
   

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3z i   .
Giải:
Ta chuyển 2 2 3i  sang dạng lượng giác rồi từ dạng lượng giác ta chuyển về dạng đại số.
1 3 2 2
2 2 3 4 4 cos sin
2 2 3 3
i i i
 
 
 
      
 
 
 
 