Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức.
Chuyên đề : Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để
chứng minh bất đẳng thức.
ANội dung:
Cho hai bộ n số
Xét tất cả các tổng có dạng:
S =
Trong đó là một hoán vị nào đó của các số là một hoán vị nào đó của các
số: 1,2,3,…,n.
Nhận xét rằng số các tổng như vậy là hữu hạn và ta luôn có:
Chứng minh:
Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho (*)
• Với n=1: (*) luôn đúng.
• Giả sử (*) đúng đến n=k-1; ; . Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là (2).
• Xét (*) khi n=k và cũng gọi là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3,…,k. Đồng
thời giả sử =1 mà bài toán không mất tính tổng quát, ta được:
Nhưng:
Do theo giả thiết quy nạp (2) mà (*) đã đúng đến n=k-1, nên:
Suy ra (*) đúng với n=k
Theo nguyên lí quy nạp thì (*) được chứng minh xong.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trường hợp của (1), chứng minh tương tự.
Vậy (1) được chứng minh hoàn toàn.
Áp dụng: Cơ sở của phương pháp cực trị bộ n số sắp thứ tự cần thực hiện hai bước cơ
bản:
Bước1: Tuỳ theo giả thiết bài toán BĐT, ta thiết lập hai dãy tăng gọi là phương pháp
thuận
Bước2: Áp dụng nguyên lý cực trị của hai bộ n sắp thứ tự để suy ra yêu cầu bài toán.
Ghi chú: Khi sử dụng hai dãy một tăng một giảm gọi là phương pháp nghịch, cũng suy
ra yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Phương pháp cực trị hai bộ n số sắp thứ tự được sử dụng để chứng minh các