1

Mục Lục
Mục lục …………………………………………………………………………… 1
Phần 1: Mở đầu……………………………………………………………………. 2
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………………2
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu……………………………. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………………………. 2
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………….. 2
5. Tính mới của đề tài………………………………………………………… 3
Phần 2: Nội dung………………………………………………………………….. 4
1. Cơ sở lý luận ……………………………………………………………... 4
2. Thực trạng vấn đề…………………………………………………………. 4
3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………………..... 4
3.1 Cơ sở lý thuyết……………………………………………………….4
3.2 Bài toán 1…………………………………………………………… 5
3.2.1 Dạng 1……………………………………………………….. 5
3.2.2 Dạng 2………………………………………………………. 7
3.2.3 Dạng 3………………………………………………………. 8
3.3 Bài toán 2…………………………………………………………… 8
3.3.1 Dạng 1………………………………………………………. 9
3.3.2 Dạng 2……………………………………………………… 10
3.4 Bài toán 3………………………………………………………….. 12
3.5 Bài toán 4………………………………………………………….. 14
4. Thực nghiệm và kết quả thực hiện……………………………………….. 17
Phần 3: Kết luận và kiến nghị……………………………………………………. 18
1. Kết luận……………………………………………………………………18
2. Kiến nghị…………………………………………………………………. 18
Phần 4: Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….18





3
Để tiến hành làm đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Tổng hợp, tích lũy.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ
Áp dụng kinh nghiệm, phương pháp mới trên lớp học.
Thao giảng, dự giờ, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp trong quá trình dạy.
5. Tính mới của đề tài
Đề tài chủ yếu tập trung phân loại một số dạng phương trình tiếp tuyến
thường gặp ở lớp 11, 12. Đối với mỗi dạng có hướng dẫn cách xác định các dữ
kiện còn thiếu để có thể viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số một
cách nhanh chóng.
Trong mỗi dạng được đưa ra đều có ví dụ minh họa dễ hiểu, có bài tập để
các em học sinh áp dụng. Đề tài không chọn những bài toán quá phức tạp nên việc
tiếp cận của học sinh đối với kiến thức phương trình tiếp tuyến cũng dễ dàng hơn.
Đây là đề tài rất gần với chương trình toán 11, có thể cung cấp cho các em thêm
những kiến thức thật vững để giải quyết các bài toán khó hơn ở lớp 12 cũng như
tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia.


4

Phần 2: Nội Dung
1. Cơ sở lý luận
Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc
giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Khi giải bài tập cần chuẩn bị
phương pháp thích hợp làm cho lời giải rõ ràng, có lôgic, chính xác, dễ hiểu … và
hiệu quả của việc giải toán tốt nhất, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh đối
với môn học.


Trong đó y0  f  x0  .
3.2 Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại một điểm cho trước.
3.2.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại điểm M  x0 ; y0 
* Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0 
Cách giải:
+ Tính f '  x  , f '  x0 
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Cho hàm số y  x2  2 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm A  0; 1 .
Giải
Ta có y  2 x  2  y  0  2 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A  0; 1 là:
y   1  2. x  0  hay y  2 x  1

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y  x3  3x2  2
hàm số (C) tại điểm M 1; 1 .

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị


6
2. Cho hàm số y  x4  8 x2  1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị



 x  1

2

 f '(0)  5 .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M  0; 1 là:
y   1  5. x  0  hay y  5x  1

Ví dụ 2: Cho hàm số y   x3  6 x2  9 x  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải
Gọi M  x0 ; y0  là giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
Tọa độ giao điểm M của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:
  x0  1
 M1 1;0 
 y0   x03  6 x02  9 x0  4

   x0  4  

 M 2  4;0 
 y0  0
y  0
 0


7
Ta có y  3x2  12 x  9  y ' 1  0; y '  4   9 .
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  0 và y  9 x  36 .

3

 x  2

2

Với x0  3 ta được : y  3  3 ; y0  5
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N  3;5 là:
y  5  3. x  3 hay y  3x  14

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y  x3  3x2  1 , ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.


8

2. Cho hàm số y  

x3
 2 x 2  3x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
3

thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa f ''  x0   2 .
3.2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại điểm có tung độ y0 .
Cách giải:
+ Thay y0 vào (C) tìm x0 .
+ Tính f   x   f   x0 
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

13
y  2  .  x  5 hay y  x 
4
4
4

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y 

2x  3
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
x2

điểm có tung độ bằng 3.
2. Cho hàm số y  x3  3x2  x  2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
3.3 Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
biết hệ số góc của tiếp tuyến.


9
3.3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k .
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0 .
+ Tính f ' x  . Giải phương trình f '  x0   k , tìm x0 .
+ Thay x0 vào phương trình y  f  x  tìm y0
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đường cong (C).
+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y  kx  b

 x2  2 x  1  6 x  b
b  15


x  4
2 x  2  6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  6 x  15 .
Bài tập áp dụng:
1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y 
góc của tiếp tuyến bằng

2x 1
, biết hệ số
4x 1

1
.
2

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C  : y  3x3  6 x2  2 x  1 ,
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1.
3.3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 
biết hệ số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước.
Cách giải:
+ Tính f ' x 
+ Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k
+ Áp dụng dạng 1 tìm phương trình tiếp tuyến của (C).

Chú ý:

Với x0   y0 

4

1
16

Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm N  ;  là:
 4 16 
3 1

y

1
1
3
1
7
   x   hay y   x 
2
16
16
2
4

Ví dụ 2: Cho hàm số: y 

1 3
x  x 2  2x
3

2. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số  C  : y  f  x   x3  2 x2  x  7 không
có hai điểm bất kì mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
3.4. Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 
biết tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A  xA ; y A  .
Cách giải:
* Cách 1
+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d: y  k ( x  xA )  yA (3)
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương tình
sao có nghiệm
 f ( x)  k ( x  x A )  y A

 f '( x)  k

(I)

(Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A) .
+ Giải hệ (I) tìm k, thay k tìm được vào (3) để viết phương trình tiếp tuyến.
* Cách 2
+ Gọi M 0  x0 ; y0  là hoành độ tiếp điểm.
+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M 0 là: y  f   x0  . x  x0   y0

(4)

+ Tiếp tuyến d qua A  xA ; y A   Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (4)
y A  f   x0  xA  x0   y0

(5)

+ Giải phương trình (5) tìm x0 , y0 , f   x0 

9
4

Vậy có hai tiếp tuyến là: y  2 và y   x  2 .
Ví dụ 2 : Cho đồ thị (C): y  x3  3x  1, viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 1) .
Giải
Ta có: y '  3x 2  3
Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 )  3x02  3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )
 qua A( 2; 1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02  4  0
 x0  1  y0  1
 ( x0  1)( x02  4 x0  4)  0  
 x0  2  y0  1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1 : y  1; 2 : y  9 x  17
Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y 

2x  1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1

số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8).


14
2. Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi
qua điểm N 1;3 .
3.5 Bài toán 4 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y  f  x 



x

x

.
0
x0  2
x0  22

d  Ox  A 

d  Oy  B   OAB vuông cân tại O.

AB  OA 2 

Do đó: d  d1 : y  x hoặc d  d2 : y   x .
+ Nếu d  d1 : y  x thì k d .k d1  1 
Giải phương trình ta được:

4
2
.1  1  x0  2  4 .
2
 x0  2


15
x0 = 0  phương trình d: y = - x (loại)

x 1

của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và
B thỏa mãn OA  4OB .
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA  4OB .

Do OAB vuông tại O nên tan A 

OB 1
1
1
  Hệ số góc của d bằng
hoặc  .
OA 4
4
4

3

x


1
(
y

)
0

1
5
 y   ( x  3) 
 y   1 x  13
4
2
4
4



Ví dụ 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

2x  2
,
x 1

biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải



Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  a;

2a  2 
 ,  M  (C )  .
a 1 

Ta có: y ' 



Ta có: 4  (a  1)4  22  (a  1)2   2.2(a  1)2  4  (a  1)4  2.2(a  1)2  2 a  1
 d  I; 

8 a 1
 4 . Vậy d  I ;   lớn nhất khi d  I ;   = 4
2 a 1

a  1  2
a  1
 22  (a  1)2  

. Cả hai giá trị đều thỏa mãn a  1
 a  1  2
 a  3

+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:
4x  4 y  4  0  x  y 1  0

+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:
4 x  4 y  28  0  x  y  7  0

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  1  0 ; x  y  7  0
Bài tập áp dụng:


17
1. Cho (C) là đồ thị hàm số y 

x 1

Sĩ số

11A16

34

Trên trung bình

Dưới trung bình

SL

%

SL

%

17

50

17

50

Năm học 2014 - 2015.
Lớp

Sĩ số


54,8

14

45,1

So với năm học trước thì các em học sinh 11 năm học 2014 – 2015 có kết
quả học tập tốt hơn, đây là tín hiệu đáng mừng.


18
Phần 3: Kết Luận Và Kiến Nghị
1. Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm tích lũy của bản thân trong quá trình giảng
dạy. Đề tài này đã được bản thân tôi sử dụng một cách có hiệu quả ở khối lớp 11.
Hữu ích cho các em học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp.
Kết quả thu được khá khả quan, các em học tập một cách tích cực, say mê.
2. Kiến nghị
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu. Bản thân tôi đã rút và tích lũy được
một số kinh nghiệm “Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  ”. Thông qua đề tài này rất mong hội đồng khoa
học và các đồng chí, đồng nghiệp kiểm định, xây dựng và góp ý để đề tài này được
hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh.
Làm tài liệu tham khảo tin cậy cho Thầy và trò, phục vụ tốt cho ôn luyện
trong các kỳ thi quan trọng.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Phần 4: Tài Liệu Tham Khảo
1. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam.

20
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ
THUẬT NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH
--…………………………………………………………………………...........……
…………………………………………………………………….............................
…………………………………………………………………………....................
…………………………………………………………………………....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………………………………...........…….
…………………………………………………………………….............................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………………………………...........……
……………………………………………………………………...........…………
……………………………………………………………….....................................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………….....................................................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................