Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
lí do chọn đề tài
Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài
toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ
bản của bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức.
Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc
thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng
minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng
có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí .
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài
toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm
giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đợc sử dụng nhiều trong khi ôn
tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến
thức cơ bản về bất đẳng thức .
Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi
giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất
đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định
nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của
học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh
còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập
khác .
Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơng pháp
hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi t-
ơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã biết , phơng pháp phản chứng ......và một
số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về
chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc
phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và
bộ môn Toán nói chung .
Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều và khả năng
nghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn

3, Một số đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dơng a , b ta có :
ab
ba

+
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a
=

2(x + y + z)
Giải :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)

2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e)
Giải :
Xét hiệu : H = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
- a(b + c + d + e)
= (
b
a

2
)


0 với mọi a, b
Do(
c
a

2
)
2


0 với mọi a, c
Do (
d
a

2
)
2


0 với mọi a, d
3
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Do (
e
a

2
)






+

+
baba
=
4
)2()(2
2222
bababa
+++
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+
baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .

B + 3AB
2


B
3
.........................................................
Ví dụ :
Bài 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1
1

+
+
+
ba
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng ;
3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1)
9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

cbacba )(4)(
2
+++
=> 16

4(a + b)c => 16(a + b)

4(a + b)
2
c

16 abc
=> a + b

abc
Tơng tự : b + c

abc
c + a

abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3


+
baba








+
+






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a
2
- 6ab + 3b
2


3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+



0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


0
<=> a
2
+ b
2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1

0
<=> 2a
2

22






+

+
baba

5
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải :
Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0
Ta có :
3
33
22






+

+

baba
baba
ba
<=>
2
22
2






+
+
ba
baba
<=> 4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

<=> 3(a
2





a
b
b

Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b
a




a
b
b

(
)() baabbbaa
++

0

[ ]
0)()()(

, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2


2xy
Với a, b > 0 ,
2
+
a
b
b
a
Các ví dụ :
6
Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb

c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều
là số dơng ).
Từ đó suy ra :
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 2:
Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx

2
+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
)
=> x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)
2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25

4
5
3
y
x
Điều kiện :
2
5
2
3

x
Bài 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6
+++++
accbba
b,
5,3111
<+++++
cba
Giải
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )



++
+
aa
a
Tơng tự :
1
2
1
++
b
b
;
1
2
1
++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

5,33
2
111
=+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :

(
cba
++
.(a + b + c)
=
111
++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
=
++++++
)()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b


cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải
a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2
+yx
11
+



xy
2
=> (x + y)(
yx
11
+
)

4
=>
yx

411


+


bcpap
411


+

=>
)
111
(4)
111
(2
cbacpcpap
++

+

+

=> đIều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài

4
)

(x
2
+ y
2
)
2
(1)
Ta có : (x - y)
2


0 x
2
+ y
2


2xy
2(x
2
+ y
2
)

(x +y)
2
2(x

(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
Giải :
Do a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2
< b < 1 ; ta có :

< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
5. Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy
giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết
của đề bài để suy ra điều vô lý .
Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau ,
từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau



4
1
Tơng tự : b(1 - b)


4
1
c(1 - c)


4
1
d(1 - d)


4
1
Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :

[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1(
>
ddccbbaa
(2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là

2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

6
111
<+++++
a
c
c
b
b
a

6)
1
()
1
()
1
(

6)
1
()
1
()
1
(
+++++
c
c
b
b
a
a
Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên .
=> đpcm
Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng
thức sau :
11