Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Chuyên đề

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
“Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là một nội dung đặc biệt quan trọng
của giải tích toán học. Trong các đề thi ta thường gặp bài toán liên quan đến nội dung nầy
và đa số học sinh cũng thường có những sai lầm hoặc thiếu sót khi giải bài toán tiếp tuyến
Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi viết chuyên đề nầy với mục đích giúp học sinh hệ
thống được các kiến thức cơ bản và làm quen với các dạng bài tập liên quan đến “phương
trình tiếp tuyến”, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp và kỹ năng giải toán, giúp các em
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, khả năng tự học…, để học sinh ngày càng tự tin, hứng
thú học tập và học tốt hơn.
B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững.

1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x ) tại điểm M(x0;y0) thuộc (C).
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x) đi qua điểm M(xM;yM).
Dạng 1: Biết M(x0;y0)
- Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0).
Cách 1:
y = f / ( x 0 )( x − x 0 ) + y 0
-- Viết
phương
trình
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc k:

y = k ( x − x M ) + y M (*)
Dạng 2:
Biết
x

trình
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0;y0) là
y = f ' ( x 0 )( x − x0 ) + y 0
(1)
- Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(xM;yM) nên xM, yM là nghiệm đúng của
phương trình y M = f ' ( x0 )( x M − x0 ) + y 0 (2)
Giải phương
trìnhLạc
(2),Thôn
ta có x0, thế x0 vào phương trình (1) được
Tổ Toán 3 –- Trường
THPT An
Trang 1
phương trình tiếp tuyến.


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 2


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x ), biết hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 1: Hệ số góc k cho trước.
- Tính y’= f / ( x)
- Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0.
- Có x0 tìm y0= f(x0).
- Viết phương trình y = f / ( x0 )( x − x0 ) + y 0

k −a
= tan α ⇔ 
Hệ số góc k thỏa
1 + ka
 k − a = − tan α
1 + ka

-

Giải các phương trình trên tìm k, trở lại bài toán ở Dạng 1.

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 3


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
II. Các dạng bài tập thường gặp.
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết hoành độ tiếp điểm là

Giải
Ta có

Với

.


Giải

tại điểm có hoành

Ta có

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 4


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Với

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

có dạng:

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x3 − 4 x 2 + 2 biết tiếp điểm có
tung độ y0 = 2 .
Gọi tiếp điểm có tọa độ ( x0 ; y0 )

Giải

y0 = 2
⇔ − x03 − 4 x02 + 2 = 2

y' ( 0) = 0
y ' ( 2 ) = 16
y ' ( −2 ) = −16

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 , y = 16 x − 30 và y = −16 x − 30
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 3x + 2 biết tiếp điểm có tung
1− x

độ y0 = −2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 )
Ta có: y0 = −2 ⇔

Giải

3x0 + 2
= −2
1 − x0

 x0 ≠ 1
⇔
 x0 = −4
⇔ x0 = −4
5
y'=
2
( 1− x)
y ' ( −4 ) =

1
5


 x0 + 3x0 − 4 = 0
 x0 = 1
⇔
 x0 = −4
( 2 x + 1) ( x − 2 ) − ( x 2 + x ) x 2 − 4 x − 2
'
y =
=
2
2
( x − 2)
( x − 2)

y ' ( 1) = −5
y ' ( −4 ) =

5
6

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 6


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
5
6

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −5 x + 3 và y = x −

3 2
3 2
7 2
.
x − 2 2 và y = −
x+
4
4
4

Trang 7


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước.
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x 2 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(0;-1).
Giải
* Cách 1:
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y ' = 2 x ⇒ y ' ( x0 ) = 2 x0 .
2
Phương trình tiếp tuyến d có dạng: y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 2 x0 ( x − x0 ) + x0
2
2
Vì A(0;-1) ∈ d nên − 1 = 2 x0 (− x0 ) + x0 ⇔ x0 = 1 ⇔ x0 = ±1
•
Với x0 = 1 : Ta được phương trình tiếp tuyến d là: y = 2( x − 1) + 1 ⇔ y = 2 x − 1
•

⇒ Phương trình của d là: y = kx + 2
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 8


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
d tiếp xúc (C) ⇔ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ (*)
 x 3 − 5 x 2 + 2 = kx + 2
 x 3 − 5 x 2 = kx
⇔ 2
⇒ x 3 − 5 x 2 = 3 x 2 − 10 x x
Với hệ (*)  2
3 x − 10 x = k
3 x − 10 x = k

(

)

x = 0
⇔ 2 x − 5x = 0 ⇔ 
x = 5
2

x
=
0
⇒
k

⇒ Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −

− x +1
, biết rằng tiếp
2x + 1

1
2

 1 
 2 

Giao điểm của đường tiệm cận đứng và trục Ox là A − ;0 
Gọi d là đường thẳng qua A, có hệ số góc k.



1
2

Phương trình đường thẳng d là: y = k  x + 
d tiếp xúc (C) ⇔ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ (*)
− x +1
1

 2 x + 1 = k  x + 2 

 ⇒ − x + 1 = − 3  x + 1 
Với hệ (*) 
−3



Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến.
1
3

3
2
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = − x − 2 x − 3 x + 1 , biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y =

3
x+9
4

b) Tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Giải
Ta có y ' = − x − 4 x − 3
2
a) Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y 0 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: k = y ' ( x0 ) = − x0 − 4 x0 − 3
2

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y =
k = y' ( x0 ) =

3
3

29 3
5
3
37
= ( x + ) hay y = x +
.
24 4
2
4
12
3
17
* Với x0 = − thì y 0 =
8
2
y−

3 17
):
2 8

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( − ;

17 3
3
3
13
= ( x + ) hay y = x +
8 4
2


5
3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2;
y−

5
):
3

5
11
= x + 2 hay y = x +
3
3

Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2

x 2 − 3x + 1
, biết:
x−2
4
5

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = − x + 7
Giải
Ta có y ' =


x0 − 4 x0 + 5
( x0 − 2) 2
4
5

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + 7 nên
 x0 ≠ 2
2
 x 0 ≠ 2
x0 − 4 x0 + 5 5
4
5

⇔  x 0 = 0
.= ⇔  2
y ' ( x 0 ).(− ) = −1 ⇔ y ' ( x 0 ) = ⇔
2
4
5
4
( x 0 − 2)
 x 0 − 4 x0 = 0
 x = 4
 0
1
* Với x0 = 0 thì y 0 = −
2

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn


5
5
= ( x − 4) hay y = x − .
2 4
4
2
5
1
5
5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = x − và y = x − .
4
2
4
2
y−

Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) y = x 3 − 3 x + 2 , biết tiếp tuyến song song với trục hoành.
b) y = 2 x 2 − 3 x + 9 , biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450.
Giải
2
a) Ta có y ' = 3 x − 3 . Tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc là đạo hàm
y ' ( x 0 ) = 0 ⇔ 3 x 0 2 − 3 = 0 ⇔ x 0 = ±1 .
* Với x0 = 1 thì y 0 = 0 : loại
* Với x0 = −1 thì y 0 = 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-1; 4):
y − 4 = 0 hay y = 4.
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm: y = 4.
b) Ta có y ' = 4 x − 3 . Tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450 nên hệ số góc

Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
a) Ta có x0 = π ⇒ y 0 = 0

y ' = 2 cos 2 x ⇒ y ' (π ) = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( π ; 0):
y = 2( x − π ) .
b) Tiếp tuyến song song với phân giác y = x có hệ số góc bằng 1 nên:
1
π
y' ( x0 ) = 1 ⇔ 2 cos 2 x0 = 1 ⇔ cos 2 x0 = ⇔ x0 = ± + kπ , k ∈ Z
2

π
3
+ kπ thì y 0 =
6
2
π
Các tiếp tuyến: y = 1( x − − kπ ) +
6
π
3
* Với x0 = − + kπ thì y 0 = −
6
2
π
Các tiếp tuyến: y = 1( x + − kπ ) −
6


Giải
Ta có y ' =

2
( x + 1) 2

a) Ta có: Gọi A(0;-1) là giao điểm của (C) va trục Oy Phương trình tiếp tuyến tại A có
dạng: y + 1 = 2( x − 0) ⇔ y = 2 x − 1 .
b) 2 x + y + 2015 = 0 ⇒ y = −2 x − 2015 .
Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y 0 ) . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 x + y + 2015 = 0
nên y ' ( x0 ).(−2) = −1 ⇔ y ' ( x0 ) =

1
2

 x 0 ≠ −1
2
1
 x0 ≠ −1

.= ⇔ 
⇔
⇔  x 0 = 1
2
2
2
( x 0 + 1)
( x 0 + 1) = 4
  x = −3
 0

7
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = x − và y = x + .
2
2
2
2
y−2=

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 13


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
1
3

Bài 6. a) Cho đồ thị hàm số y = − x 3 + x 2 − 5 x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, sao cho tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
1
3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( x − 2) 3 , biết tiếp tuyến hợp
với trục hoành một góc 450
Giải
2
a) Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: y ' ( x0 ) = − x0 + 2 x0 − 5
2
Ta có: y ' ( x0 ) = − x0 + 2 x0 − 5 = −( x0 − 1) 2 − 4 ≤ −4 .


1
4
và y + = x − 1 ⇔ y = x − .
3
3
0

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 14


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

III. Bài tập bổ sung.
3
2
Bài 1. Cho đường cong ( C ) : y = x − 3x . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các
trường hợp sau:
a) Tại điểm M ( 1; −2 ) .

b) Tại điểm thuộc ( C ) và có hoành độ bằng -1.
c) Tại giao điểm của ( C ) với trục hoành.

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −1; −4 )
Giải
2
a) Ta có: y ' = 3x − 6 x
x0 = 1 ⇒ y ' ( 1) = −3



Vì tiếp tuyến đi qua A ( −1; −4 ) nên:

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 15


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
−4 = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( −1 − x0 ) + x03 − 3 x02

⇔ 3 x0 ( x0 + 1) ( x0 − 2 ) − ( x03 − 3 x02 + 4 ) = 0

⇔ ( x0 + 1) ( 3 x02 − 6 x0 ) − ( x0 + 1) ( x02 − 4 x0 + 4 ) = 0
⇔ ( x0 + 1) ( 2 x02 − 2 x0 − 4 ) = 0
⇔ 2 ( x0 + 1)

2

( x0 − 2 ) = 0

 x0 = −1
⇔
 x0 = 2
y ' ( −1) = 9

y ' ( 2) = 0

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9 x + 5 và y = −4 .
3x + 1


 x0 ≠ 1
⇔
2

( 1 − x0 ) = 16
 x0 ≠ 1
⇔
1 − x0 = ±4
 x0 = −3 ⇒ y0 = −2
⇔
 x0 = 5 ⇒ y0 = −4

1
1
5

1  y = 4 ( x + 3) − 2 ⇔ y = 4 x − 4
Có hai tiếp tuyến có hệ số góc k = : 
4
 y = 1 ( x − 5 ) − 4 ⇔ y = 1 x − 21 ( loại )

4
4
4
1
5
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x −
4
4


Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
* y + 1 = 1( x + 1) ⇔ y = x
* y + 5 = 1( x − 3 ) ⇔ y = x − 8

3
2
2
2
Bài 3. Cho hàm số y = 2mx − ( 4m + 1) x + 4m có đồ thị ( Cm ) . Hãy tìm m để đồ thị hàm

số tiếp xúc với trục Ox .
Giải
2
Ta có y = ( x − 2m ) ( 2mx − x − 2m )

⇒ y ' = ( 2mx 2 − x − 2m ) + ( x − 2m ) ( 4mx − 1) .

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( x − 2m ) ( 2mx 2 − x − 2m ) = 0


2
( 2mx − x − 2m ) + ( x − 2m ) ( 4mx − 1) = 0
  x − 2m = 0

2
 2mx − x − 2m = 0
⇔
2


⇔ x =
( II ) ⇔  x =
(Hệ vô nghiệm).
4m
4m


  1 2 1
16m 2 + 1 = 0
− 2m = 0
 2m 
÷ −
  4m  4m
m = 0
Vậy giá trị cần tìm của m là 
2 .
m=±

2
3
Bài 4. Cho hàm số y = x + 1 − k ( x + 1) có đồ thị ( Ck ) .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của ( Ck ) với trục
tung.
b) Tìm k để tiếp của ( Ck ) ở câu a) tạo với hệ trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 8.
Giải
a) Đồ thị ( Ck ) của hàm số cắt trục Oy tại A(0;1 − k ) . Ta có
y ' = 3x 2 − k ⇒ y '(0) = −k .

( 1 − k ) 2 + 16k = 0
 k = −7 ± 4 3

Vậy k = 9 ± 4 5 , k = −7 ± 4 3 .
Bài 5. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ
đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , trong đó có hai tuyến vuông góc với nhau.
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 18


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Giải
Gọi M ( a, 0 ) ∈ Ox , phương trình đường thẳng d qua M và có hệ góc k là: y = k ( x − a ) .
Ta có d tiếp xúc với ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2
 x + 3 x = k ( x − a )
 2
3 x + 6 x = k

(1)
(2)

3
2
2
3
2
Thay k ở (2) vào (1) ta được x + 3x = ( 3x + 6 x ) ( x − a ) ⇔ 2 x − 3 ( a − 1) x − 6ax = 0

9 ( x1 x2 ) + 18 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 = −1

a ≠ 0

  a < −3

⇔ 
( vì
1
  a > − 3

81a 2 − 81a ( a − 1) − 108a + 1 = 0

 x1 x2 = −3a


3 ( a − 1)
 x1 + x2 =

2

)

a ≠ 0

  a < −3
1
⇔ 
⇔a=
.



Lấy M ∈ ( C ) ⇒ M  x0 ;


2 x0 − 1 
÷, x0 ≠ 1 .
x0 − 1 

Phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại M là
y=

−1

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2

2 x0 − 1
2
⇔ x + ( x0 − 1) y − 2 x02 + 2 x0 − 1 = 0
x0 − 1

Theo giả thiết d ( M , d ) = 2
1 + 2 ( x0 − 1) − 2 x0 2 + 2 x0 − 1
2

⇒

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
điểm cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 2.
1
3

Đáp số: y = 3 x − 1, y = x +

2x − 1
, biết rằng tiếp
x +1

1
3

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 + mx + m + 1 tại
giao điểm của đồ thị (Cm) với trục Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp số: d : y = mx + m + 1 và m = 1; m = −3 + 2 2
x 2 − 2x + 2
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
, biết:
x −1

a) Tại điểm mà đồ thị hàm số giao với trục tọa độ.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x + 15 .

Đáp số: a) y = -2
b) y = −3x + 7 và y = −3x − 1
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 (1)
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn


Đáp số: a) y = −2 x − 5 + 4 2 và y = −2 x + 5 − 4 2
b) y =

21
1
x−
2
4

Bài 6. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 3 − 3 x 2 + 3 đi qua điểm E(

23
;−1 )
9

Đáp số: Có ba tiếp tuyến thỏa đề bài:
5
88
y = −1, y = 9 x − 24, y = − x +
3
27

C. KẾT LUẬN
Những dạng bài tập được nêu ra trên đây chỉ là những dạng cơ bản nhất mà chúng
tôi mong muốn học sinh nắm vững để làm nền tảng cho việc giải các bài tập đòi hỏi khả
năng tư duy cao hơn mà các em sẽ gặp sau nầy. Sự thiếu sót của chúng tôi khi viết chuyên
đề trên là không thể tránh khỏi. Mong được sự thông cảm của quý vị đồng nghiệp và các
em học sinh. Được giúp học sinh và được biết các em thành công dù bất cứ ở đâu, bất cứ
lúc nào cũng mãi là niềm vui của mỗi chúng tôi.