SỞ GD-ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC
ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 (ĐỀ ĐỀ NGHỊ)
MÔN TOÁN LỚP 12 - THỜI GIAN 180 PHÚT
A. ĐỀ RA:
Câu 1: (4,0 điểm )
Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
Câu 2: ( 4,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
3 2
3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
y x x
z y y
x z z

− + − =

− + − =


− + − =

Câu 3: ( 4,0 điểm)

x x
m
x x
+ + − +
⇔ =
+ + − +

Nhận thấy rằng:
( ) ( )
2 2
2 2
3 1
3 1 4 1
2 2
x x
x x
   
+ −
+ + − = ⇔ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Nên tồn tại góc
0;
2
π
ϕ
 
∈
 

2
t t
ϕ
= ∈
2
2
3 3 4 1 1 7 12 9
5 16 7
4 3 3 1 1
x x t t
m m
t t
x x
+ + − + − + +
= ⇔ =
− + +
+ + − +
Xét hàm số:
[ ]
2
2
7 12 9
( ) ; 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− + +
= ∈
− + +

9 7
m≤ ≤
Câu 2:

3 2
3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
y x x
z y y
x z z

− + − =

− + − =


− + − =

3 2
3 2
3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
y x x
z y y
x z z

 
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
3 3 27 27
( )
2 2 4 4
t f f t
 
= ⇒ = ⇒ ≥ ⇒
 ÷
 
2 3
3
27 27 3 3
9 27 27
4 4 2
4
x x y y− + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ >
2

3
3 3
2
4
x⇒ ≥ >
v à
3
3 3
2
4
z ≥ >

Câu 3: Gỉa sử các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình
( )
1
n n n
x y z+ =

Không mất tính tổng quát ta giả sử
x y≤
. Vì
( ) ( )
0 1 1 1
1
1 ... ... 1 2
n n n n
n
n n n k n k n n
n n n
z x y y z y z y
z y C y C y C y y ny
− − −
= + > ⇒ > ⇒ ≥ +
⇒ ≥ + = + + + + + ≥ +

So sánh (1) và (2) ta có :
1 1n n n
x ny nx
− −
≥ ≥
vì
( )

Câu 5: Đặt
( )
cos
n
a n x
π
=
và
( )
cos
n
b n y
π
=
. Khi đó:

( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
n n n n n n n n
a b a b a b a b+ + − = + = + +
.
Gỉa sử tập hợp
( )
{ }
n n

.
Do tập
{ }
n
a
hữu hạn nên
( )
2
: 2 2
m n
k
m n a a n x m x k n m x k x Q
n m
π
π π π π π
∃ < = ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ∈
−
Tương tự
( )
2
: 2 2
m n
k
m n b b n y m y k n m y k y Q
n m
π
π π π π π
∃ < = ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ∈
−
3