VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đƣờng cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y0
1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp
tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).
Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)
(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.
2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểm
thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).
Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y
= f’(x).(x – x0) + y0 (d).
Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (xA – x0) + y0 => x0
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k
Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
d: y = f’(x0).(x – x0) + y0.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:
f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f(x0).
Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0). (x – x0) + y0.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng;
d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có
nghiệm: {



-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Chú ý: Một số dạng khác
-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :
y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0). a = -1 ⇔ y’(x0) =

… Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0) = a… Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì
việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2
là hệ số góc của đường thẳng d2.
+Nếu d1 ⊥ d2 ⇔ a1.a2 = -1
+Nếu d1 // d2 ⇔ {
-Nếu đường thẳng cho ở dạng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) thì có hệ số góc là
-Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Ví dụ 3: Cho hàm số
tung độ bằng

.
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có

.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Theo giả thiết:
⇔
⇔[

⇔
⇔

Tính y’(x0) =

.

Với x0 = 2 => k = y’(2) = -12 và y0 =
(


k=y’(x0) = 2 ⇔(

)

⇔(

)

⇔

⇔[

Với x0 = 0 => y0 = -1 và k = 2. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:
y = 2(x – 0) – 1 = 2x -1.
Với x0 = -2 => y0 = 3 và k = 2. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


y = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7.
Ví dụ 5: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng có phương trình y = 3x.
Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Tiếp tuyến song song với ∆: y = 3x nên có hệ số góc k = f’(x0) = 3
Do đó:

⇔


.

.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng

.
Giải

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d:

=>Phương trình tiếp tuyến ∆: y = -6x + b.

∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ số có nghiệm: {
Vậy ∆ vuông góc d:

⇔{

=> Phương trình ∆: y = -6x + b

∆ tiếp xúc (C) ⇔hệ sau có nghiệm: {

⇔{

Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 – 3x02 + 5.
Ta có: y’ = 6x2 – 6x =>y’(x0) = 6x02 – 6x0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: y – y0 = y’(x0)(x – x0)
⇔

(

⇔

(

)

(

)(

)

)
(

A ∈ ∆⇔

(

)

⇔

(
)⇔

)(
(

)
)(

)

⇔[

( )

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hoặc hay
Loại 3: Một số dạng khác về viết phƣơng trình tiếp tuyến
VÍ DỤ MINH HỌA

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8




)(
(

)

)

√

(

(

. Đặt

√

( )

)

)

)

Xét hàm số ( )

(


√

(

)

√ ⇔[

Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1= 0 hoặc x + y – 5 = 0.
( ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục

Ví dụ 3: Cho hàm số
hoành tại A sao cho OA = 1.

Giải
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng:
( )(
⇔

(

)

( )⇔

(

)

⇔

Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với

( )

và

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng d:

(

)

(

)

(

.

)

Tọa độ điểm A = d ∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

(


)

Theo giả thiết
⇔

⇔[

⇔

(

⇔

)

(

)

⇔ [

Với

(

Với

(



)

)

.

Tọa độ điểm A = d∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

(

)

=> (

⇔{

)

Tọa độ diểm B = d ∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

⇔[

Với

=>Phương trình tiếp tuyến là y = -x (loại)

Với

=>Phương trình tiếp tuyến là y = -x – 2

Cách 2: Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) phải song
song với hai đường phân giác
⇔(
⇔[

⇔(

)

)

⇔[

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


Với


(

)

=>

(

)

(

)

); B = ∆ ∩ Oy =>

(

.

)

(

Khi đó tam giác tạo với hai trục tọa độ ∆AOB có trọng tâm là: (

)

(


)

).
).

Bài tập vận dụng

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


Bài 1: Cho hàm số

đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc (C) biết tiếp

tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ̂ bằng

√

,

với I là giao 2 tiệm cận của (C).
Giải
)∈( )

(

Gọi


⇔(

Ta được:

)

(∆)

, tọa độ B(2x0 -2; 2) = (C) ∩ TCN

nên t n ̂

√

(

.

) phương trình tiếp tuyến:

) phương trình tiếp tuyến:

Bài 2: Cho hàm số

.

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rẳng khoảng cách

từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải

)

√

(

)

√

√

⇔*

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Từ đó suy r

ó h i tiếp tuyến y

x và y

x

( ). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến với 2 tiệm

Bài 3: Cho hàm số


Vì M ∈ (C) nên t

ó

– y2 = (1 – y2)4 – 4 (1- x2)2 + 3

Vậy (C1) ó phương trình y
T

ó

ó f’(x)

f(x)

-x4 + 4x3 – 2x2 – 4x + 4.

-4x3 + 12x2 – 4x – 4

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0) ó dạng y

f’(x0)(x – x0) + y0

Vì tiếp tuyến song song với d nên

Với x0 = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x – 25 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16