1


2

Mục lục
Trang
Mở đầu................................................................................................................................
Chơng 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận...........................................................................
1.1. Tính hệ thống................................................................................................................
1.1.1. Khái niệm về tính hệ thống........................................................................................
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống...................................................................
1.1.3.Tính hệ thống trong hoạt động dạy Toán.....................................................................
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.......................................................................
1.2.1. Những khái niệm cơ bản...........................................................................................
1.2.2. Bản chất và các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học
PH và GQVĐ.....................................................................................................................
1.2.3. Những hình thức của dạy học PH và GQVĐ............................................................
1.2.4. Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán.............................................
1.2.5. Vai trò của tính hệ thống đối với việc PH và GQVĐ...............................................
1.3. Các cơ sở khoa học của tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT nhằm
nâng cao chất lợng PH và GQVĐ......................................................................................
1.3.1. Cơ sở thực tiễn..........................................................................................................
1.3.2. Cơ sở triết học..........................................................................................................
1.3.3. Dựa trên các quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học.............................................
1.3.4. Cơ sở Tâm lý Giáo dục học.................................................................................
1.4. Vài nét về thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT
............................................................................................................................................
1.4.1.Khảo sát thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán..............................
30
32

Viết đầy đủ
:

Dạy học

HS
LTKT

:
:

Nxb

Lí thuyết kiến tạo
:

GV

Học sinh

Nhà xuất bản
:

Giáo viên

GQVĐ

:

Giải quyết vấn đề

Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán đã cho tác giả
những bài học bổ ích trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - nguồn cổ vũ
động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn.
Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi
những khiếm khuyết, tác giả mong nhận đợc sự góp ý của các
Thầy cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 12 năm 2011.
Tác giả


5

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay
nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học
sinh, đòi hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết
nhiệm vụ nhận thức dới sự tổ chức, hớng dẫn của giáo viên. Vì vậy, việc giáo
dục Toán học ở trờng THPT đặt ra yêu cầu đối với ngời học phải có nền tảng
tri thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập
và đời sống.
1.2. Toán học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, kiến thức toán
học chỉ có thể hiểu kĩ và vững chắc nếu nh học sinh nắm đợc chúng một cách
có hệ thống và cũng có kiến thức Toán học mới có cơ sở để rèn luyện t duy,
thế giới quan khoa học. Vì thế, trong khi dạy học Toán ngời giáo viên phải
quan tâm đến việc nghiên cứu chơng trình và sách giáo khoa không chỉ ở lớp,
ở cấp mình đang dạy mà ở cả những lớp, những cấp có liên quan. Có nh vậy
mới xác định đợc vị trí của giáo trình mình phụ trách trong toàn bộ hệ thống
tri thức ở nhà trờng phổ thông, mới thấy hết mối liên hệ của nó với các giáo

1.1. Tính hệ thống.
1.1.1. Các khái niệm về tính hệ thống.
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống.
1.1.3. Nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học Toán.


8
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1. Những khái niệm cơ bản.
1.2.2. Bản chất, các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề.
1.2.3. Những hình thức và các cấp độ của dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề.
1.2.4. Cách tiếp cận phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán
THPT.
1.2.5. Vai trò của tính hệ thống đối với việc phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3. Các cơ sở khoa học của tính hệ thống trong dạy học Toán ở Trờng
THPT nhằm nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.1. Cơ sở thực tiễn.
1.3.2. Cơ sở Triết học.
1.3.3. Dựa vào xu hớng đổi mới phơng pháp giảng dạy.
1.3.4. Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học.
1.4. Vài nét về thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT.
1.4.1. Khảo sát thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở
trờng THPT.
1.4.2. Tình hình vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng
THPT.
1.4.3. Nguyên nhân.
1.5. Kết luận chơng 1.
Chơng 2: Các biện pháp vận dụng nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học

Ví dụ 1.1: Tứ giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông
đợc sắp xếp theo một hệ thống phụ thuộc vào các thuộc tính đặc trng. Giữa
các phần tử có quan hệ với nhau nh hình bình hành đợc định nghĩa thông qua
tứ giác có các cặp cạnh đối song song, hình thoi đợc định nghĩa thông qua tứ
giác có bốn cạnh bằng nhau hay thông qua hình bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau, hình chữ nhật đợc định nghĩa thông qua tứ giác có bốn góc vuông
hay thông qua khái niệm hình bình hành có một góc vuông..., hình vuông đợc
định nghĩa thông qua hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Các phần tử
trên có chung tính chất là đa giác có bốn cạnh, bốn góc.
Tính hệ thống còn hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:
- Hệ thống là tập hợp những t tởng, nguyên tắc, quy tắc liên kết với nhau
một các logic, làm thành một thể thống nhất. [19, tr. 418].
Ví dụ 1.2: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
uuur uuur uuur r
GA + GB + GC = 0
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC = 3MG ( Với M bất kì)

Trong không gian trọng tâm của tứ diện cũng có tính chất tơng tự cụ thể
là: Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD ta có:
uuur uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
MA + MB + MC + MD = 4MG ( Với M bất kì)

r

cách duy nhất qua hai véc tơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao
r
r
r
cho x = ma + nb .
Từ các định lí trên học sinh có thể hiểu đợc khái niệm tọa độ của véctơ
đối với hệ tọa độ, từ đó nghiên cứu các kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng
nh: từ điều kiện hai véc tơ cùng phơng dễ dàng nhận xét đợc liên hệ giữa các
véc tơ pháp tuyến, giữa các véc tơ chỉ phơng của cùng một đờng thẳng ; nhận
xét đợc điều kiện để hai đờng thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau.
- Hệ thống còn đợc hiểu là tính chất có trình tự, có quan hệ logic giữa các
yếu tố. [19, tr. 418].
Ví dụ 4: Sau khi học phép cộng học sinh mới đợc học phép nhân trên cơ
sở vận dụng tri thức về phép cộng ( Phép nhân là phép cộng nhiều lần của cùng
một đại lợng nh nhau).
Mặc dù các cách hiểu về tính hệ thống là cha hoàn toàn đồng nhất về
ngôn ngữ diễn đạt, nhng dễ nhận ra rằng, giữa các cách hiểu đó không có sự
khác biệt đáng kể. Trong Luận văn này, chúng tôi quan tâm chủ yếu tới ý
nghĩa bản chất của của tính hệ thống đó là hệ thống đợc hiểu là một tập hợp
những phần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó; là
tính chất có trình tự, có quan hệ logic giữa các yếu tố.
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống
- Tính hệ thống đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học nói
chung và nghiên cứu phơng pháp dạy học nói riêng. Nói nh vậy bởi vì: " Bất
cứ một yếu tố nào trong hệ thống tri thức ở nhà trờng bao giờ cũng đòi hỏi học
sinh cũng phải biết một yếu tố tri thức khác thì mới hiểu đợc, mặt khác nó lại
là cơ sở để hiểu một yếu tố tri thức khác nữa. [1].


minh họa, định nghĩa thông qua các khái niệm học trớc; từ các mệnh đề này
suy ra các mệnh đề khác một cách tuần tự. Tất cả các kiến thức Toán học ở tr ờng phổ thông đợc sắp xếp nh những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt
chẽ tạo thành những mạch xuyên suốt chơng trình.
Tri thức mới với ý nghĩa đúng đắn của nó, chỉ thực sự đợc hoà nhập với
vốn hiểu biết của học sinh khi nó đợc xây dựng trên cơ sở tri thức vốn có của
học sinh. Cũng chính vì vậy mà khi bàn về cách tìm tòi lời giải các bài toán,
G. Polya thờng nhấn mạnh câu hỏi Bạn có biết bài toán nào giống nó


12
không? [20, tr. 55]. Cũng theo G. Polya: Thực tế khó mà đề ra một bài toán
hoàn toàn mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không
có một điểm nào chung với một bài toán trớc đây đã giải" [20, tr. 55]. Nếu nh
có một bài toán nh vậy nó tất yếu đã giải đợc. Thực vậy, khi giải một bài toán,
ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phơng pháp
hay là kinh nghiệm có đợc khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài
toán ta dùng tới phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có. Việc trả lời câu
hỏi của G. Polya thực chất liên hệ tới tính hệ thống trong giải bài tập Toán.
Mục đích của câu hỏi trên đây để học sinh hoạt động huy động kiến thức có từ
trớc và quy lạ về quen.
Tất nhiên tính hệ thống trong Toán học đó là theo khuynh hớng chọn lọc,
phát triển để đi lên. Chẳng hạn: Về sự hình thành và phát triển của các tập hợp
số.
Sự phát triển các tập hợp số không phải do lý trí chủ quan của các nhà
Toán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống hay nhu cầu của việc phát triển
kiến thức trong nội bộ Toán học.
Tập hợp số đợc đa ra đầu tiên là tập số tự nhiên: N = { 0; 1; 2; 3;....}
Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn, các mâu thuẫn đó bắt
nguồn từ thực tế cuộc sống, chẳng hạn sử dụng số tự nhiên cha phản ánh đợc
các hiện tợng thực tế của thế giới khách quan nh: lãi và lỗ, đi tiến và đi lùi,


2 =?
Và tập hợp các số phức ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập
hợp R các số hữu tỷ, nh vậy ta đã tìm đợc căn bậc hai của các số âm.
Việc học tập của học sinh có kết quả trong một tiết học thờng đòi hỏi
những tiền đề nhất định về trình độ kiến thức, kỹ năng sẵn có của ngời học.
Vận dụng tính hệ thống trong dạy Toán chính là giáo viên hớng dẫn, gợi mở
cho học sinh khả năng huy động kiến thức để giải đáp nguồn gốc một khái
niệm, các cách hình thành định lý, hoặc giải các bài tập Toán; tập cho học sinh
biết "quy lạ về quen" trong quá trình giải bài tập Toán... Dạy học Toán luôn
phải gắn liền với tính hệ thống và phát triển xây dựng kiến thức mới.
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.1. Những khái niệm cơ bản
1.2.1.1. Phát hiện
Theo Từ điển Tiếng Việt, phát hiện là tìm thấy cái cha ai biết nghĩa
là tìm ra cái mới đợc nhân loại thừa nhận và dùng đợc trong phạm vi khoa học
và cả phạm vi loại ngời.
Phát hiện theo cách hiểu của Bruner là ngay từ ngày đầu đi học, đứa
trẻ cần phải có những giây phút sung sớng khi phát hiện ra điều mới lạ. Sự
phát hiện đó có thể chỉ là sự hiểu biết về hàng loạt sự kiện xảy ra hàng ngày ở
xung quanh nó và là một phần của cuộc đời nó. Phát hiện theo cách hiểu ở
đây không phải là mới đối với nhân loại mà là mới đối với bản thân chủ thể,
và thờng đợc dùng trong nhà trờng và đối với trẻ nhỏ.
Phát hiện trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đợc hiểu theo
nghĩa: tìm thấy cái chính mình cha biết và có nhu cầu muốn biết, dùng theo
nghĩa này để chỉ rõ vai trò của học sinh trong việc tìm tòi, thảo luận, tranh
luận để tìm ra phơng án giải quyết vấn đề.
1.2.1.2. Vấn đề



Rõ ràng rằng giải quyết vấn đề là hoạt động nhận thức phức tạp, để giải
quyết vấn đề chủ thể trớc hết phải có lòng ham muốn giải quyết vấn đề, có
mục tiêu và niềm tin thực hiện đợc mục tiêu đó, đồng thời biết huy động các
năng lực trí tuệ: trí nhớ, tri giác, khái niệm, suy luận, ...tham gia tích cực vào
hoạt động giải quyết vấn đề. Giải quyết vấn đề vừa là quá trình, vừa là quy
trình, vừa là phơng tiện để cá nhân sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinh
nghiệm đã có để giải quyết một tình huống có vấn đề mà cá nhân có nhu cầu.


15
Một quá trình giải quyết vấn đề bắt đầu khi gặp vấn đề và kết thúc khi có câu
trả lời cho vấn đề đặt ra.
1.2.2. Bản chất, các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học
PH và GQVĐ.
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trng là giáo viên trực tiếp
tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn đề,
hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ. Thông qua đó mà lĩnh hội tri thức,
rèn luyện kỹ năng và đạt đợc các mục đích học tập khác.
Đặc trng cơ bản của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ là tình huống
có vấn đề, ứng với một mục tiêu xác định, những thành phần chủ yếu của của
một tình huống bao gồm: Nội dung của môn học hoặc chủ đề, tình huống khởi
đầu, hoạt động trí tuệ của học sinh trong việc trả lời câu hỏi hoặc giải quyết
vấn đề, kết quả hoặc sản phẩm của hoạt động, đánh giá hiệu quả.
Đặc trng thứ 2 là: Quá trình dạy học theo phơng pháp PH và GQVĐ đợc
chia thành những "thao tác", những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt,
học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình
để giải quyết vấn đề.
Đặc trng thứ 3 là: Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh
hội đợc kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy. Quá trình dạy học theo phơng pháp giải quyết vấn đề bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng lôi cuốn

thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò. Nh vậy có sự đan
kết, thay đổi hoạt động của thầy và trò dới hình thức đàm thoại.
+ Thuyết trình giải quyết vấn đề: ở hình thức này, mức độ độc lập của
học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống có vấn đề,
sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải
quyết.Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có thể sẽ thất bại phải điều
chỉnh mới đi đến kết quả, kiến thức đợc trình bày không phải dới dạng có sẵn
mà là trong quá trình khám phá ra chúng.
Theo Lerner thì dạy học PH và GQVĐ có thể phân chia nh sau:
+ Phơng pháp nghiên cứu: Giáo viên tổ chức hoạt động tìm tòi sáng tạo
cho học sinh bằng cách đặt ra chơng trình hành động và kiểm tra, học sinh
phải tự mình giải quyết chơng trình đó.
+ Phơng pháp tìm tòi từng phần: Giáo viên giúp học sinh tự mình giải
quyết từng giai đoạn trong phơng pháp nghiên cứu.
+ Phơng pháp trình bày nêu vấn đề: Giáo viên giới thiệu cho học sinh
cách giải quyết đã có, giới thiệu các phơng thức vận dụng vấn đề đó, giúp học
sinh hiểu đợc lôgic và mâu thuẫn trong việc tìm cách giải quyết này.
Những cách phân loại trên tuy khác nhau về cách đặt tên nhng về bản
chất, đều thể hiện mức độ tính tích cực khác nhau và do đó đòi hỏi mức độ
độc lập của học sinh cũng khác nhau trong quá trình học tập. Hình thức thứ
hai và thứ ba tác giả chú ý tới hoạt động dạy của giáo viên, hình thức thứ nhất
lại chú ý tới hoạt động của học sinh. Qua đó ta nhận thấy rằng nếu không vận


17
dụng một cách triệt để tính hệ thống trong quá trình dạy học sẽ khó đạt đợc
các hình thức của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ.
Trong giờ học PH và GQVĐ, các câu hỏi đều nhằm vào việc gợi lại các
tri thức có liên quan trong vốn tri thức đã đợc lĩnh hội trớc đây của học sinh.
Các câu hỏi của giáo viên có tác dụng làm dễ dàng và thúc đẩy bớc tìm tòi tri

sinh nhận biết và giải quyết đợc các tình huống vấn đề luôn luôn nảy sinh


18
trong tiến trình giải Toán. Đây chính là đặc trng và lôgic của dạy học PH và
GQVĐ, góp phần đắc lực cho việc hình thành và phát triển năng lực PH và
GQVĐ của học sinh trong dạy học giải Toán. Nh vậy thì năng lực PH và
GQVĐ có thể hiểu: Đó là năng lực tập trung vào khả năng tìm kiếm và áp
dụng chiến lợc giải quyết vấn đề bằng con đờng có mục tiêu, đòi hỏi cách t
duy phê phán và cách tiếp cân sáng tạo để đạt đợc kết quả.
Với ý
nghĩa của hoạt động giải Toán thì năng lực PH và GQVĐ giúp học sinh cách
tiếp cận phát hiện và giải quyết những tình huống vấn đề nảy sinh trong đề
toán, ở hai mức độ sau:
- Giáo viên phân tích, tổ chức các vấn đề, biểu đạt từng vấn đề trong đề
toán, giúp đỡ học sinh giải quyết các tình huống vấn đề đó, kiểm tra lại cách giải
quyết của học sinh trong tiến trình giải quyết toàn bộ các vấn đề trong bài toán .
- Học sinh nói chung tự phát hiện đợc các vấn đề nảy sinh, chủ động
giải quyết đợc các tình huống vấn đề ở bài toán dới sự gợi ý của giáo viên, kết
quả là học sinh đi đến lời giải, nắm tri thức và phơng thức giải Toán.
Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán
Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình giải Toán là từng bớc bằng
những phơng pháp phơng thức, kinh nghiệm, kiến thức cần có để nghiên cứu
và giải quyết bài toán đã cho.
Trong bài báo "Cẩm nang còn thiếu của mỗi chúng ta" [30, tr.9], đề cập
đến phơng pháp luận khoa học sáng tạo, khẳng định dù khoa học tự nhiên hay
khoa học xã hội cũng cần phải giải quyết hàng loạt vấn đề hóc búa. Có những
suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề tối u, hiệu quả không chỉ dựa vào những kinh
nghiệm mà còn có những quy luật, những phơng pháp cụ thể cho từng cách
giải quyết vấn đề. Trong giải Toán không chỉ dừng lại việc đa ra các tình

những bình diện khác nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự
trừu tợng hóa những đối tợng vật chất cụ thể, nhng cũng có những khái niệm
nảy sinh do sự trừu tợng hóa những cái trừu tợng đã đạt đợc trớc đó.
Dạy học giải bài tập Toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt các
mục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp dạy
học Toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình
thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán là phơng tiện không thể
thay thế trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t dPH và
GQVĐ, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải
quyết các bài toán thực tế. Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ
góp phần quan trọng đối với chất lợng dạy Toán. Dạy học giải bài tập Toán
không chỉ dừng lại ở mức độ hớng dẫn học sinh trình bày đúng đắn, đầy đủ và
có căn cứ chính xác lời giải, mà phải biết cách hớng dẫn học sinh thực hành
giải bài tập theo yêu cầu của phơng pháp tìm tòi lời giải, tập cho học sinh khả
năng độc lập giải quyết vấn đề.


20
Việc vận dụng tính hệ thống trong quá trình dạy học Toán học nói chung
và giải bài tập Toán nói riêng nhằm giúp học sinh khắc sâu các định lý, các
khái niệm Toán học, giúp các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ
bản vững chắc; phát huy đợc khả năng t duy của các em, rèn luyện năng lực
huy động kiến thức để giải quyết những tình huống có vấn đề.
Vận dụng tính hệ thống trong giải bài tập Toán còn góp phần phát triển
t duy cho học sinh: các em biết cách phát triển các bài tập trong sách giáo
khoa phổ thông, biết tổng quát hoá, đặc biệt hoá, biết quy lạ về quen hoặc có
thể đề xuất một bài toán tơng tự. Thông qua dạy học giải bài tập Toán rèn
luyện cho học sinh thói quen cũng nh khả năng độc lập phát hiện và giải quyết
các vấn đề có liên quan. Từ đó giúp t duy logic, t duy sáng tạo của các em
từng bớc phát triển, năng lực các em đợc nâng cao.

học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao hoạt động
nhận thức cho các em.
Ví dụ 1.5. Khái niệm và phơng pháp chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu chúng nằm trên một đờng thẳng.
Các cách chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng:
- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đờng thẳng qua A, B, C
bằng nhau.
- Chứng minh đờng thẳng AB và đờng thẳng AC cùng song song với
một đờng thẳng nào đó.
- Chứng minh AB = k.AC , với k 0.
- Chứng minh ABC = 180.
- Chứng minh ba điểm A, B, C có cùng phơng tích với hai đờng tròn.
- Sử dụng Định lý Thales.
- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
* Đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với các bài tập Toán
khác. Các qui luật của t duy biện chứng chỉ rõ rằng: khi xem xét một sự vật
phải xuất phát từ chính bản thân sự vật trong cả quá trình phát triển của nó,
phải xem xét đầy đủ mối liên hệ bên trong của sự vật đó, phải nhận thức sự vật
trong sự phát triển trong sự tự vận động của nó. Chính vì thế khi xem xét bài
toán, học sinh cần phải xem xét một cách đầy đủ toàn diện với tất cả các mối
quan hệ bên trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thể với cái
trừu tợng... Trên cơ sở đó, dùng phép tơng tự hoặc tổng hợp để chuyển cái
riêng thành cái chung, cái cụ thể thành cái trừu tợng và ngợc lại. Từ đó hình
thành cho các em cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thành cũng nh quá trình
phát triển của Toán học.
Ví dụ 1.6. Quá trình hình thành và phát triển của hệ trục tọa độ Đềcác
(Descartes) vuông góc ở trờng phổ thông:
Ngời phát minh ra hệ trục tọa độ là R. Descartes (1596 - 1650) một nhà
Triết học kiêm Vật lý và Toán học ngời Pháp.
Để thực hiện từng bớc phù hợp với trình độ nhận thức học sinh ở mỗi lớp

E2

y'

độ. Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy
gọi là trục tung.

Điểm O gọi là gốc tọa độ
- Hệ tọa độ Đềcác (Descartes) vuông góc trong không gian (Hình học lớp 12).
Để xác định vị trí của một điểm hoặc một véctơ trong không gian, ngời ta
thờng dùng hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian.
z
Đó là một hệ gồm ba đờng thẳng
x'Ox, yOy', z Oz' vuông góc với nhau từng

x'

E3

y'

đôi một, trên đó lần lợt chọn các véctơ đơn
ur uuuu
r uu
r uuuur uu
r uuuur
vị: e1 = OE1 , e 2 = OE 2 , e3 = OE 3 .

O
E1

A(0; 0) và B(a; 0).
Gọi M(x; y), ta có:
O

MA 2 MB 2 = k

A

[ x + y ] [( x a ) + y ] = k
2

2

x=

k
.
2a

2

2

B

Vậy tập hợp các điểm M là đờng thẳng có phơng trình x =

x

k


D
GM 1
= và HAG = OMG; HGA = OGM (hình 1)
GOM GHA vì
GA 2
C
M

H

N

O

G
B

M
Hình 1

B

H

G

M

O

* Học sinh khi giải toán thờng dựa trên sự bắt chớc hay nói cách khác
theo ngôn ngữ Toán học là xem bài toán đó tơng tự nh một bài toán đã giải.
Các em quan sát, thu nhận và bắt chớc giáo viên đã giải bài toán nh thế nào và
thực hành lại một cách có chọn lọc. Giáo viên muốn phát triển khả năng giải
các bài tập Toán của học sinh thì phải tạo hứng thú cho học sinh, đảm bảo cho
học sinh nhiều điều kiện học hỏi và thực hành.
* Kiến thức Toán học đợc trình bày một cách có logic và hệ thống chặt
chẽ từ lớp 1 đến lớp 12. Kiến thức trớc là nền tảng của kiến thức sau. Kiến
thức sau là sự mở rộng của kiến thức trớc. Nhng đa số các em còn lúng túng
trong việc ứng dụng khai thác, mở rộng, phát triển các kiến thức. Điều này
hạn chế không nhỏ tới việc huy động vốn kiến thức của học sinh, ảnh hởng
đến việc rèn luyện t duy, khả năng thu nhận kiến thức cũng nh sự hiểu biết thế
giới quan khoa học của học sinh.
1.3.2. Cơ sở Triết học


25
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển. Một vấn đề đợc gợi cho học sinh hứng thú học tập, tự giác độc
lập tìm tòi và khám phá, chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mới với
kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách logic và
biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ
với yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, t duy mới hay đổi mới tình thế
hoặc bài toán nào đó. Và thế cứ mỗi lần mâu thuẫn xuất hiện rồi đợc giải
quyết thì hiểu biết của học sinh lại tiến thêm một bớc theo một quy luật gọi là
phủ định của phủ định. Nh thế có nghĩa là nói có mâu thuẫn xuất hiện tức
là có một sự bất lực nào đó của kiến thức hiện có trớc nhiệm vụ giải quyết hay
giải thích một sự việc hay hiện tợng nào đó; nh vậy là sự vật hay hiện tợng này
phủ định kiến thức hiện có. Trớc tình hình đó yêu cầu học sinh phải tìm cách
giải quyết hay giải thích sự vật hiện tợng đó. Nghiên cứu khoa học sẽ đa đến