phần i
phần mở đầu
I.Tính cấp thiết của đề tài:
Trong thc t ging dy lp 12 thỡ bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn
vi mt ng cong l mt bi toỏn rt c bn, thng xuyờn xut hin trong
cỏc thi tt nghip, cao ng v i hc hng nm.
Vỡ th l mt giỏo viờn dy Toỏn THPT v nhiu nm dy ụn luyn hc
sinh lp 12 tụi ch cú mt lao ng sỏng to nh l h thng li cỏc bi toỏn vit
phng trỡnh tip tuyn vi mt ng th hm s ti mt im, a ra cỏc
phng phỏp gii ng thi ch ra mt s sai lm m hc sinh hay mc phi vỡ
cỏc em cha cú nhiu bi tp rốn luyn k nng phõn tớch v trỡnh by bi
toỏn. Cỏc em hc sinh cha cú c phng phỏp khỏi quỏt cỏc bi toỏn thng
gp v vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s. Chớnh vỡ vy, tụi ó tỡm
hiu v vit sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp vit phng trỡnh tip
tuyn ca th hm s ti mt im nhm giỳp cỏc em hc sinh nm chc
c kin thc v bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s,
cỏc em cú s chun b tt cho cỏc k thi tt nghip THPT v k thi i hc, cao
ng.
II. Tình hình nghiên cứu:
Bng phng phỏp nghiờn cu lớ lun, quan sỏt v tng kt kinh nghim
số kết quả nghiên cứu ban đầu để thấy rõ đợc kết quả luyện tập của học sinh.
III. Mục đích và nhiệm vụ của sáng kiến:
Bng phng phỏp nghiờn cu lớ lun v ỏp dng vo thc tin ging
dy. giỳp hc sinh vn dng lớ thuyt vo bi tp. a cỏc bi toỏn khú v
cỏc bi toỏn thng gp.
IV. I TNG V PHM VI:
Học sinh lớp 12A2 - Trờng THPT số 1 Bảo Yên.
Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2013 - 2014.
PHN II
TểM TT Lí THUYT
1

Dạng bài: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại một điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) .
Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

PHẦN III
BÀI TẬP ÁP DỤNG
2


A. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1. Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 15 x + 12 có đồ thị (C).Viết phương
trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 15 ⇒ f ' (2) = 5

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y + 2 = 5( x − 2)
⇒ y = 5 x − 12
1
4

1
2

Bài tập 2. Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với
(C) tại điểm có tung độ bằng

+Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  − 1;  là:


y−

4

7
1
= −2( x + 1) ⇔ y = −2 x −
4
4

Nhận xét 1:
Bài tập 1 khi đã cho hoành độ và tung độ vì vậy viết phương trình tiếp
tuyến là tương đối đơn giản, học sinh chỉ cần tính đạo hàm và tìm hệ số góc của
tiếp tuyến, Đến bài tập 2 thì độ khó đã tăng nên đầu bài chỉ cho tung độ chúng
ta cần hướng dẫn học sinh tìm hoành độ rồi quay về bài tập 1,ngoài ra bài tập 2
còn có thể cho biết hoành độ chúng ta phải tìm tung rồi mới viết phương trình
1
4

1
2

tiếp tuyến cụ thể như sau(( Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C ) . Viết phương trình
tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng -2 )).
3



2
6
1
2

2. Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 3x 2 +

3
có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C ) tại
2

điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3. Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2 có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị
(C) biết tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6
4. Cho hàm số y = f(x) =

2x −1
có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm
x+3

có hoành độ x0 là nghiệm phương trình f’(x0) = 7
Bài tập 4. Cho hàm số y =

x+3
x −1

có đồ thị (C).

Cho M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại
hai điểm A, B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .

( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2
x0 − 1
( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 .
suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

x02 + 5 x0 − 3
−4
x = 1
x
+
x +7
y =

2
2
)
( x0 − 1)
( x0 − 1) ⇔ 
x0 + 7 ⇒ A (1, 0

y
=
x
−
1
0

 x A + xB 1 + 2 x0 − 1
= x0 = xM
 2 =
2

x −7
⇒ M là trung diem AB (đpcm)
Nhận xét : 
1+ 0
 y A + yB
x0 − 1 x0 + 3
=
=
= yM

2
x0 − 1
 2

Nhận xét 2:
Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp, đầu tiên ta phải giải
x +3

0
tích được điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa là M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇒ yo = x − 1 .
0
Phương trình tiếp tuyến được viết theo điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) .
Xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị, sau đó tìm giao điểm
của tiếp tuyến với các tiệm cận bằng cách giải hệ phương trình tìm ra tọa độ
các điểm A, B.

2 x02
2
2
y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
( x − x0 ) +
⇔y=
x+
(d )
( x0 + 1) 2
x0 + 1
( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2
Gọi A = (d ) ∩ Ox ⇒ tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

2 x02
2
x
+
 x = − x02
y =
2
2
⇔
⇒ A(− x02 , 0)
(
x
+
1)
(
x

1)
(
x
+
1)


0
0
2
2
y
=
(
x
+
1)
(
x
+
1)

0
0
x = 0

2
2
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = − x0 = x0 ; OB =



 2 x0 = − x0 − 1  2 x0 + 1x0 + 1 (vn)
 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
1
2

Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : M 1 (− ; −2) ; M 2 (1,1)
Nhận xét 3:
Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp và cách giải tương tự
như bài tập 4, nhưng sau khi tìm được tọa độ các điểm A, B chúng ta phải nhận
xét được tam giác OAB có đặc điểm gì để có thể tính được diện tích một cách
nhanh nhất. Cụ thể trong bài này thì tam giác OAB là tam giác vuông tại O vì
1
OA.OB
2
Bài tập 6. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 có đồ thị (C), và điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C) , tiếp

vậy diện tích tam giác OAB là S =

tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm hoành độ
điểm B theo x0
Giải
A
(
x
,
y
)
∈
Điểm

Nhận xét 4:
Đây là bài tập thuộc dạng quen thuộc vì A( x0 , y0 ) ∈ (C) ⇒ y0 = x03 − 3x0 + 1
ta vẫn làm theo các bước thông thường
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ta sẽ được hoành độ điểm B, chú ý là
hoành độ của điểm A phải khác hoành độ của điểm B.
2x − 4
Bài tập 7. Cho hàm số y =
có đồ thị (C)
x +1

6


Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của
(C) tại A, B. Chưng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm
cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Giải
 2a − 4 
Gọi M  a;
÷∈ ( C ) a ≠ −1
 a +1 
Tiếp tuyến tại M có phương trình: y =

6
2a − 4

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0 ; f (x0 )) ∈ (C ) có phương trình
y = f '(x0 )(x − x0 ) + f (x0 )

Hay x + (x0 − 1)2 y − 2x0 2 + 2x0 − 1 = 0 (*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2
⇔

2 − 2x0
1 + (x0 − 1) 4

= 2

giải được nghiệm x0 = 0 và x0 = 2
*Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0

2x − 1
có đồ thị (C)
x +1
Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M

Bài tập 9. Cho hàm số y =
là lớn nhất

Giải

7





Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
( x0 + 1) 2
y−2+

Vậy d ≤ 6 .
Khoảng cách d lớn nhất là bằng 6 khi
9
2
= ( x0 + 1) 2 ⇔ ( x0 + 1) = 3 ⇔ x0 = −1 ± 3 .
2
( x0 + 1)

Có hai điểm M thỏa mãn là M : M ( − 1 + 3 ;2 − 3 ) hoÆc M ( − 1 − 3 ;2 + 3 )
Nhận xét 5:
Bài tập 9 là mở rộng của bài tập 8,chỉ khác nhau ở chỗ là bài tập 9 sau
khi tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng chúng ta phải lập luận
sao cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Cách 1: chúng ta sử dụng bất đẳng thức Côsi như trên.
Cách 2: chúng ta sử dụng đạo hàm bằng cách đặt ẩn phụ như sau
d=

3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1)
9 + ( x0 + 1)

4

=

6 x0 + 1
9 + ( x0 + 1) 4

x +1

góc bằng 2.
Giải
x = 0
2
( x 2 + 2 x + 1) = 1 ⇔ x + 2 x = 0 ⇔ 
=
2
=>
( x + 1)
 x = −2
Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; −1), ( −2;3)
Hai phương trình tiếp tuyến: y = 3x − 1 và y = 3x + 9
−x + 3
Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y =
biết tiếp tuyến song
2x + 1
y'=

2

2

song với d : y = −7 x − 1 .

Ta có

−7



x1 =

5
5
3
y ' = − ⇔ 3 x 2 − 6 x = − ⇔ 9 x 2 − 18 x + 5 = 0 ⇔ 
3
3
x = 5
 2 3
Thay lần lượt x1 , x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
5
61
5
31
tuyến là: y = − x +
và y = − x −
3
7
3
7
Nhận xét 6:
9


Các bài tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung một cách làm và đối với bài
toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k.
Cách làm

23


2
2
2
x 3 x + 2 = k x ữ 2
x 3x + 2 = (3 x 6 x) x ữ 2
9
9




2
2
3 x 6 x = k
3 x 6 x = k


x = 2
k = 0

1

x =
5
3

k =


3
2

(d )

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
3
1 4
2
x 3 x + = kx +
2
2 có nghiệm.
2
2 x 3 6 x = k

x = 0

Suy ra 3x 4 6 x 2 = 0 x = 2
x = 2


3
2

+) Với x = 0 k = 0 . Pttt là: y = .
3
2


Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
 f ( x) = k ( x − a) + b
 /
 f ( x) = k
Giải hệ phương trình trên ta tìm được k, thay k vào y = k ( x − a ) + b (*)

12


Bài toán 3. Áp dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
vào chứng minh bất đẳng thức .
3
và a + b + c = 1.
4
a
b
c
9
Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≤
a + 1 b + 1 c + 1 10

Bài tập 14. Cho a, b, c ≥ −

Giải
• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
• Bất đẳng thức đã cho có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M
• Xét hàm số
f (x) =

x

25
50
 4 
 3 
Thật vậy : ∀x ∈  − ;3 xét
 4 
f ( x) ≤

f ( x) − (

18
3
−(3 x − 1) 2 (4 x + 3)
x+
)=
≤ 0 luôn
25
50
50( x 2 + 1)

đúng.
Do đó với a,b,c thuộc

 3 
 − 4 ;3

và a+b+c = 1 ta có :

a
18

Bất đẳng thức đã được chứng minh.
f (a) =

2

Bài tập 15. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh rằng:

(2a + b + c)2
(2b + c + a) 2
(2c + a + b) 2
+
+
≤8
2a 2 + (b + c)2 2b2 + (c + a) 2 2c 2 + (a + b)2

Giải
• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến
• Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M
Ta biến đổi như sau :
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3
13


và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1
BĐT đã cho trở thành
(a + 3)2
(b + 3) 2
(c + 3) 2
+

Vậy

(a + 3)2
4
4
(b + 3) 2
4
4
(c + 3) 2
4
4
≤
a
+
,
≤
b
+
,
≤ c+
2
2
2
2
2
2
3
3 2b + (3 − b)
3
3 2c + (3 − c)

Bước 2: Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) + ..... ≤ M
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x) tại điểm rơi, chứng
minh được bất đẳng thức.

Bài tập tương tự
1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
CMR:

a
b
c
3 3
+ 2 2+ 2
≥
2
2
2
b +c c +a
a +b
2

14


2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1
Chứng minh rằng :

1 1 1
b c 
a


+

c( a + b )
(a + b)2 + c2

≤

6
5

15


PHẦN IV
THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Kết luận
Học xong chương trình lớp 11 học sinh cơ bản đã viết được phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số
góc. Đến lớp 12 học sinh mới được học viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm. Đa số học sinh còn chưa phân biệt được hay nói cách khác là còn nhầm
lẫn giữa các dạng phương trình tiếp tuyến cơ bản với nhau. Học sinh thường hay
nhầm lẫn mặc định khi điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị thì đó là tiếp tuyến tại một
điểm. Sau khi đã hướng dẫn các em phân chia các loại của phương trình tiếp
tuyến thì đa số các em không còn sự nhầm lẫn và đã phân biệt và trình bày bài
làm khá tốt kể cả các bài phương trình tiếp tuyến trong các đề thi đại học và các
đề thi thử đại học.
Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 201 3- 2014
Phạm vi: Lớp 12A2
Kết quả trước khi áp dụng:


%

25%

25

61,9
%

10,5% 8

Kết quả sau khi áp dụng:
Giái
Líp

SÜ sè

12A2 38

Kh¸

Trung b×nh

YÕu

SL

%


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12.
2. Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12.
3. Bài tập giải tích cơ bản 12.
4. Bài tập giải tích nâng cao 12.
5. Các đề thi ĐH - CĐ và các đề dự bị môn toán của BGD& ĐT.

PHẦN VI
PHỤ LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7

Nội dung
Trang bìa
Phần I. Mở đầu
Phần II. Tóm tắt lí thuyết
Phần III. Bài tập
Phần IV. Thời gian áp dụng và hiệu quả
Phần V.Tài liệu tham khảo
Phần VI. Phụ lục

Trang
1
2