TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
ĐÀO THỊ THẢO
XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Đồng thời, em xin
trân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại
trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời
gian, trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho
nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vây, em
kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và
toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Thảo
Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn
Bằng, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đề
tài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương

1.4.1 Các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên
đối với phương trình Laplace hai chiều . . . . . . 18
2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 26
2.1 Bài tập về một số khái niệm chung . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai của hàm hai
ẩn về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình - Giải bài
toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Bài tập về hàm điều hòa và các tính chất cơ bản của nó 42
2.4 Giải các bài toán biên đối với phương trình Laplace, Pois-
son bằng phương pháp tách biến Fourier . . . . . . . . . 47
2.4.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật . . . . . . 47
2
2.4.2 Giải bài toán biên trong miền tròn . . . . . . . . 53
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
3
Mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng lần đầu tiên được nghiên cứu vào giữa
thế kỉ XIX trong những công trình của những nhà toán học như Euler,
D’ Alembert, Lagrange và Laplace như một công cụ quan trọng để mô
tả các mô hình vật lí và cơ học. Từ khi xuất hiện cho tới nay, phương
trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng
dụng, thúc đẩy sự phát triển các tư tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực

1
, x
2
, , x
n
) và các đạo hàm
riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Nó có dạng
F (x
1
, x
2
, , x
n
, u, u
x
1
, , u
x
n
, u
x
1
x
1
, ) = 0, (1.1)
với x ∈ Ω ⊂ R
n
trong đó x = (x
1

F (x, y, u, u
x
, u
y
, u
xx
, u
xy
, u
yy
) = 0.
1.1.4 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phi tuyến tính
Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng
L[u] = f (x), (1.2)
trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của
u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x.
Ví dụ 1.2. Phương trình:
a(x, y)u
xx
+b(x, y)u
xy
+c(x, y)u
yy
+d(x, y)u
x
+e(x, y)u
y
+g(x, y)u = f(x, y),
là phương trình tuyến tính cấp 2.
(i) Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất,

cấp hai. Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế.
Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệt của PTĐHR tuyến tính cấp hai
là Elliptic, Hypebolic, Parabolic thông qua các lớp đại diện của chúng là
phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền
nhiệt.
1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát đối với
hàm u(x) = u(x
1
, x
2
, , x
n
):
n

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
+
n

j=1
b
j

ta nói:
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị
riêng cùng dấu. Tức là (n
+
= n hoặc n
−
= n).
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Hyperbolic tại x nếu A(x) có 1 giá trị
riêng trái dấu với n −1 giá trị riêng còn lại. Tức là (n
+
= n −1 và n
−
=
1 hoặc n
−
= n −1 và n
+
= 1).
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Parabolic x nếu A(x) có 1 giá trị riêng
bằng 0 còn n−1 giá trị riêng còn lại cùng dấu. Tức là (n
+
= n−1 và n
0
=
1 hoặc n
−
= n −1 và n
0
= 1).
Phương trình (1.3) thuộc loại Elliptic, Hyperbolic hay Parabolic trên

− ac < 0.
+) Thuộc loại Hyperbolic nếu tại điểm đó ∆ = b
2
− ac > 0.
+) Thuộc loại Parabolic nếu tại điểm đó ∆ = b
2
− ac = 0.
9
1.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp hai của hàm hai biến
Xét phương trình (1.4)
a(x, y)U
xx
+2b(x, y)U
xy
+c(x, y)U
yy
+d(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0, với (x, y) ∈ R
2
.
Xét phép đổi biến






= u
ξ
ξ
x
+ u
η
η
x
;
u
y
= u
ξ
ξ
y
+ u
η
η
y
;
u
xx
= u
ξξ
ξ
x
2
+ 2u
ξη
ξ

y
+ ξ
y
η
x
) + u
ηη
η
x
η
y
+ u
ξ
ξ
xy
+ u
η
η
xy
;
u
yy
= u
ξξ
ξ
y
2
+ 2u
ξη
ξ

+ d
∗
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0, (1.5)
trong đó các hệ số là các hàm của ξ, η và
a
∗
= aξ
x
2
+ 2bξ
x
ξ
y
+ cξ
y
2
;
b
∗
= aξ
x
η
x
+ b(ξ
x
η

− a
∗
c
∗
= J
2
∆. Từ các công thức xác định hệ
số trên đây, chúng ta đi tìm phép đổi biến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao
cho một trong các hệ số a
∗
, b
∗
, c
∗
trong (1.5) bằng không.
Chú ý rằng hệ số a
∗
, c
∗
có dạng tương tự nhau và có thể viết chúng
bởi
aζ
x
2
+ 2bζ
x
ζ
y
+ cζ
y

Dọc theo đường cong thì ζ(x, y) bằng hằng số.
Ta có
dζ = ζ
x
dx + ζ
y
dy = 0.
Do vậy,
ζ
x
ζ
y
= −
dy
dx
và phương trình (1.7) sẽ trở thành
a

dy
dx

2
− 2b

dy
dx

+ c = 0. (1.8)
+) Nếu ∆ = b
2

(x, y) thay vào (1.4)
được:
u
ξη
= N(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
).
Đây là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình loại Hyperbolic.
∗ Đặt α = ξ − η, β = ξ + η thì phương trình (1.4) có dạng:
u
αα
− u
ββ
= N(α, β, u, u
α
, u
β
).
Đây là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic.
+) Nếu ∆ = b
2
− ac = 0 thì (1.8) có một nghiệm
y

=
b
a
⇒ Φ(x, y) = c.

Đặt ξ = Φ
1
(x, y), η = Φ
2
(x, y) thay vào (1.4) ta được:
u
ξξ
+ u
ηη
= N(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
).
Đây là dạng chính tắc của phương trình loại Elliptic.
12
1.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa
Phương trình Laplace là phương trình có dạng:
∆u := u
x
1
x
1
+ u
x
2
x
2
+ + u
x

Ví dụ 1.3. Hàm u(x, y) = x
2
+ y
2
là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) ∈
R
2
, là hàm điều hòa trong miền Ω bị chặn trên R
2
.
(iii) Nếu Ω là miền không bị chặn:
Hàm u(x), x = (x
1
, x
2
, , x
n
) được gọi là hàm điều hòa trong miền
Ω không bị chặn nếu u là hàm điều hòa tại mọi điểm ∈ Ω và thỏa mãn
13
điều kiện về độ tăng khi |x| → ∞ sau đây:
|u(x)| ≤
c
|x|
n−2
, với c > 0 là hằng số.
Ví dụ 1.4. Hàm u(x, y) =
x
x
2

v∆udx =

∂Ω
v
∂u
∂ν
dS −

Ω
Du.Dvdx, (1.9)
công thức Green thứ hai:

Ω
(v∆u − u∆v)dx =

∂Ω
(v
∂u
∂ν
− u
∂v
∂ν
)dS. (1.10)
Ta sẽ sử dụng công thức Green thứ hai (1.10) để tìm biểu diễn tích phân
của u trong Ω. Từ đó dẫn ra biểu diễn tích phân của một hàm điều hòa
trong Ω. Ta có định lí sau:
14
Định lý 1.1. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C


dS. (1.12)
Công thức (1.12) được gọi là biểu diễn Green của hàm điều hòa nó cho
phép ta tính giá trị của hàm điều hòa u tại một điểm y trong miền Ω
theo các giá trị của u trên biên ∂Ω và theo các giá trị của đạo hàm theo
vectơ pháp tuyến ngoài
∂u
∂ν
ở trên biên ∂Ω.
1.3.3 Các tính chất của hàm điều hòa
Từ (1.12) ta thấy các hàm dưới dấu tích phân đều là các hàm khả vi
vô hạn và giải tích theo y nên u(y) cũng là hàm khả vi vô hạn và giải
tích trong Ω.
Định lý 1.2. Giả sử Ω là miền bị chặn với biên trơn u ∈ C
1
(Ω) là hàm
điều hòa trong Ω. Khi đó:

∂Ω
∂u
∂ν
dS = 0.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.6, trang 73.
Định lý 1.3. (Giá trị trung bình)
15
Giả sử hàm u ∈ C
2
(Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u = 0 trong Ω. Khi đó với
mọi hình cầu B = B
R

và tồn tại y ∈ ∂Ω sao cho:
u(y) = sup
Ω
u(x) (u(y) = inf
Ω
u(x)).
Khi đó hàm u là hằng số. Đặc biệt, một hàm điều hòa khác hằng số
không thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại các điểm trong của miền
Ω.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.2, trang 69.
Hệ quả 1.1. (Nguyên lí cực trị mạnh của hàm điều hòa trong miền bị
chặn)
Giả sử Ω là một miền bị chặn và u là hàm điều hòa trong Ω, u ∈
C
2
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω). Khi đó
inf
∂Ω
u ≤ u(x) ≤ sup
∂Ω
u với x ∈ Ω.
16
Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Harnack)
Giả sử u là một hàm điều hòa không âm trong Ω. Khi đó với mọi
miền con bị chặn Ω


0
) < 0.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.4, trang 72.
1.4 Các bài toán biên cơ bản đối với phương trình
Laplace, Poisson
1.4.1 Các bài toán biên
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
. Chúng ta xét các bài toán biên cơ
bản sau đây đối với phương trình Laplace, Poisson.
(i) Bài toán biên thứ nhất (Dirichlet):
Là bài toán tìm hàm u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) của phương trình Laplace,
17
Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên:



∆u = 0|
Ω
u|
∂Ω
= ψ
hoặc




∂u
∂ν
|
∂Ω
= ψ
với f (x) ∈ C(Ω), ψ(x) ∈ C(∂Ω),
∂u
∂ν
là đạo hàm theo hướng pháp vectơ
ngoài tới ∂Ω.
(iii) Bài toán biên thứ ba (bài toán biên hỗn hợp):
Là bài toán tìm hàm u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) của phương trình Laplace,
Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên:



∆u = 0|
Ω
(
∂u
∂ν
+ au)|
∂Ω
= ψ
hoặc


u(x, 0) = ϕ
1
(x); u(x, M) = ϕ
2
(x); 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = ϕ
3
(y); u(L, y) = ϕ
4
(y); 0 ≤ y ≤ M.
Ta sẽ tìm nghiệm của (1.13) dưới dạng tách biến. Ta chia bài toán
trên thành 4 bài toán sau:













∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);












∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);
u(x, 0) = 0, u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = ϕ
3
(y), u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M.
(1.16)
19














∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M); (1)
u(x, 0) = ϕ
1
(x), u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L; (2)
u(0, y) = 0, u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M. (3)
Ta tìm nghiệm không đồng thời bằng không của bài toán có dạng
tách biến:
u(x, y) = X(x).Y (y) = 0.
Thay vào phương trình ta có:
X

(x).Y (y) = X(x).Y

(y)
X

(x)
X(x)
= −
Y


(x) = A
k
sin
kπx
L
với k = 1, 2, . . .
trong đó A
k
là các hằng số bất kì, λ
k
, X
k
tương ứng được gọi là giá trị
riêng và hàm riêng của bài toán biên (1.18), (1.20).
Với λ = λ
k
ta giải bài toán biên (1.19) cùng với điều kiện biên (1.21)
ta nhận được nghiệm:
Y (y) = Y
k
(y) = B
k
sh
kπ(M − y)
L
,
trong đó B
k
là các hằng số bất kì.
Như vậy, ta được các nghiệm:

k=1
b
k
sh
kπ(M − y)
L
sin
kπx
L
,
ta có u là nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất trong
(2) + (3).
Bây giờ ta chỉ việc tìm các hệ số b
k
để u thỏa mãn nốt điều kiện không
thuần nhất trong (2) là: u(x, 0) = ϕ
1
(x) với 0 ≤ x ≤ L.
Điều này tương đương với:
∞

k=1
b
k
sh
kπM
L
sin
kπx
L

k
=
2
Lsh
kπM
L
L

0
ϕ
1
(x) sin
kπx
L
dx.
Vậy nghiệm tách biến của phương trình (1) cho bởi
u(x, y) =
∞

k=1
b
k
sh
kπ(M − y)
L
sin
kπx
L
, (1.22)
trong đó hệ số b