TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
DƯƠNG THỊ ANH
XÂY DựNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG
DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải
Tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện
để em hoàn thành khóa luận.
Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ,
giúp đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học
tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên
Dương Thị Anh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng
khóa luận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào
khác.
Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên
Dương Thị Anh
Mục lục

Hyperbolic. "
Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1: trình bày
các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trình
đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng; bài toán hỗn
hợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải về
phương trình Hyperbolic.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng. Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trình
Hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần nhất trong
không gian n chiều. Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơ bản: bài toán Cauchy
và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng.
1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình
có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Nó có dạng
F{x\, x
2
, x
n
.Ị w, u
Xl
,u
Xn
1 Uxixi J ■•■) — 0; (1'1)
X E c K
n
, trong đó X = {xi, x
2
,x
n

Định nghĩa 1.3. Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có
dạng
L[u\ = f{x), (1.2)
trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các
hệ số là các hàm của biến số độc lập X .
Nếu / = 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta
nói phương trình đó là không thuần nhất.
Ví dụ 1.3. +) u
t
+ cu
x
= 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.
+) a(x, y)u
x x
+ 2u
X
y + 3x
2
Uyy = 4e
x
là phương trình tuyến tính không
thuần nhất.
Định nghĩa 1.4. Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là
phi tuyến.
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai
Định nghĩa 1.5. Phương trình có dạng:
X G được gọi là phương t r ìn h đạo hà m ri êng tu y ến t í nh cấp hai đối với
hàm u(x) = (XI,X
2

Uị — Au = 0, (x, t) E M
:
là phương trình parabolic trên R
n+1
.
c) Phương trình truyền sóng.
n+1
Uịị — Au = 0, (X, t) £ M
là phương trình hyperbolic trên M
n+1
.
d) Phương trình
XịU
XlX l
+ U
X2 X 2
+ U
X2
= 0,X = (xi,x
2
) e M
2
thuộc loại elliptic trên miền Xi > 0, thuộc loại hyperbolic
trên miền Xị < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng
Xi = 0.
Đặc biệt khi n = 2, phương trình (1.3) có dạng:
n+ 1
a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u

2
, —,x
n
)
A =
(1.5)
ac
i,j= 1
X e ri, trong đó các hệ số ũịj là các hàm liên tục đã cho trên íỉ, CLịj = a
3 l
và các a,ịj không đồng thời bằng không.
Thực hiện phép đổi biến đối với (1.6).
Giả sử £ = £(a;) là một phép đổi biến thuộc lớp c
2
và không suy biến, tức là
0(6,6,
^0.
D(x
1:
x
2:

:
x
n
)
Khi đó ta có
n
= Ẻ
r,s=l

ÔXị
s,r
kl
(1.9)
Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x
ữ
thì (Ị1.7Ị) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tại điểm
£o = f (®o)-
Cố định X = x
ữ
ta có A(x
ữ
) là một ma trận hằng. Khi đó tồn tại một ma trận T
= [oikỉ\ sao cho ma trận T
t
A{x
ữ
)T có dạng
trong đó Àj G {1, —1,0}, ỉ = 1, 2,n.
Giả sử đã biết ma trận T. Thực hiện phép đổi biến tuyến tính
n
£k ^ ^ ĩl)
ỉ= 1
ta có:
J=Ễ
t
i = [“«] = T,
ƠXi
do đó A(£o) CÓ dạng đường chéo như trên và phương trình (1.7) lúc đó
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.6) tại điểm X Q .

1
, ,u
ỄB
) = 0;
i= 1
+ Nếu (1.6) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:
71 — 1
$^«66 +ỡ -,«0 = 0.
2—1
* Cách đưa phương trình hyperbolic, elliptic, parabolic về
dạng chính tắc. Xét phương trình:
a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
X
y + c(x, y)u
yy
+ d(x, y, u, u
x
, U y ) = 0.
Giả sử £, ĩ ) là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của X , y . Xét phép
đổi biến
£ = i{x,y)
V =
v{x,y) thỏa mãn D&rj)
^0.
D{x,y)
(1.10)
Ta nhận được phương trình
a * U t f + 2b*u^

a
Tích phân hai phương trình này ta có hai tích phân tổng quát:
$1 (x,y) = Ci,
$2(3, ỉ/) = Cjị.
Đặt
£ = $1 (x,y) 77 =
$
2
{x,y)
thì ta có a* = c* = 0, b* Ỷ 0-
Khi đó (1.11) trở thành
26 *u
ị r ì
= -d*.
Chia hai vế cho 26* ta có
d*
26*
là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình
hyperbolic. Đặt
(1.12)
(1.13)
'dx '
£ — ^1 +
$2 77 = $1 - $2 thì ta có dạng chính tắc thứ
hai:
u££ 'ILiỊrỊYỊ D (£, 77, lí,
b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên A' < 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức
dy b ±

_

c
7'
1.4. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng
1.4.1. Định nghĩa
Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng là bài toán
tìm nghiệm u(x,t) e C
2
(M
n
X [0,+oo)) của phương trình truyền sóng
d
2
u
- Au = f ( x , í), X e R
n
, t > 0 (1.14)
thỏa mãn các điều kiện ban đầu
u ( x , 0) = Ộ Q ( X ) , X e M
n
, (1-15)
ỡĩl
^(s,0) = ^ i( a :) ,x er , (1.16)
trong đó / e ơ
2
(M
n
X [0, oo)) và 00) ội £ C^R") là các hàm đã cho.
Định lý 1.1. Bài toán Cauchy (Ị1.14Ị)- (Ị1.16Ị) có không quá một

 



 |£ — 

|£—a:|<aí |£—a;|<aí
/(£>
T
)
2T Ĩ Ũ J J \ /a
2
{t — r)
2
— Ị£ — x\
2
0 |£ — æ|<a(t— r)
a
:
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức Kirchhoff:
«Mího , 1 9 f MO
t
ề S +
iidt J
|Ễ-x|=í |£—x|=t
í \f — -T I)
-d£.
l £- z l
b) Công thức Poisson. Xét
bài toán:

2
Au = f(x,t),
m(z,0) = ộo{x)
:
du, * , . .
^(z,0) = ệi(x).
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức D’Alembert:
x+at
1 1 f
u(x,t) = ị[ệo(x - at) + ệo{x + at)] +Ỷ~ / 0i(O
d
£
x — a t
t x + a(t -T )
+
ầj /
0 x — aịt— r)
1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền
sóng
Xét bài toán:
W|S
T
= ^1,
ỡw
« = ^2- L L dv
2
trong đó Q c M
n
là miền bị chặn, với biên ỡfi trơn, Q
T

-ẻ
= a
ú'
ũ
<*<
L
’
t>ũ
’
u(x , 0) = ệ(x) , 0 < X < L,
du. ., . .
^(x,0) = iỊỉ(x),
w(0, t) = 0, t > 0, ^
u(L,t) = 0.
Lời giải Tìm
nghiệm
Thay vào phương trình
d
2
u od
2
u = a
dt
2
dx
2
ta có:
X(x).T"(t) = a
2
X"(x).T{t) hay

V
-
Xx
.
X(0) = 0
X{L) = 0
cho ta
Cị + Ũ2 — 0
Cịe^~
X L
+ c
2
e~^~
X L
= 0
ta suy ra Ci = c
2
= 0. Tức là X(x) = 0.
Suy ra nghiệm u(x, t) chỉ có thể là nghiệm tầm thường,
b) A = 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình x"(x) + XX (x) = 0 là:
X(x) = Ci + C
2
X.
. ^ í X(0) = 0
Kiếm tra điều kiện < ta suy ra Ci = 0, c
2
= 0.
[ X{L) = 0
Suy ra X(x) = 0, ta lại chỉ được nghiệm tầm thường.

2
'
Bài toán có nghiệm:
X
k
(x) = CỊ. sin ^y-x, Cỵ — consí.
Li
Với A = ^ thì phương trìnhT"(t) + a
2
ẰT(t) = 0 có nghiêm là:
L
2
Tỵịt) = DỵCOS at + Eỵ sin , Dỵ,Eỵ — consí.
L/ L/
Do đó ta có các nghiệm của phương trình
d
2
u 2d
2
u
dt
2 a
dx
2
thỏa mãn các điều kiện biên
ií(0, t) = 0
u(L, t) = 0
k iĩ a t kĩĩ a t hĩ TX
là u
k

/C7ra
Vậy nghiệm của bài toán cho bởi:
, . ( knat
[x, t) = 2^1 a
k
cos— h b
k
sin
k=1 '
trong đó:
cũng là
sinu
k iĩ x
sin d x ,
Li
«Ả
:
k ĩĩ x
sin d x.
Li
L
Ị ộ (z) si
0
L
2 f
— ìp ( x ) si
Tra J 0