MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VÀ MỘT SỐ KỸ THUẬT SÁNG TẠO BÀI TẬP

A. Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
( )C
.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
khi biết ít nhất một trong 3 yếu tố:
'
0 0 0
, , ( )x y f x
.
Ta sử dụng định lý sau (định lý 3, trang 152, SGK lớp 11 Ban cơ bản)
Định lý:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
của hàm số
( )y f x=
tại điểm
0 0 0
( ; )M x y
là
'
0 0 0
( )( )y y f x x x− = −
Trong đó

( 1; 1)M − −
.
Phân tích: sơ đồ
'
0 0
( )x f x→
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 1
1
'
0
0 0
( )
( )
'
0 0 0
( )
k f x
y f x
y x f x
=
=
ƒ
ƒ
Giải
Theo đề bài ta có
0
1x = −
và
0
1y = −

.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
( ) 3 4y f x x x= = − −
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại điểm có hoành độ
0
1.x =
Phân tích: sơ đồ
'
0 0 0
( )y x f x¬ →
Giải:
Theo đề bài ta có
0
1.x =
Thế
0
1x =
vào
4 2
( ) 3 4y f x x x= = − −
ta được:
0 0
( ) (1) 6

.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 1
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
điểm có tung độ bằng 1.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 2
2
Phân tích: sơ đồ
'
0 0 0
( )y x f x→ →
Giải:
Theo đề bài ta có
0
1y =
.

'
2
'
3
( )
( 2)
3
(0)
4
f x
x
f
−
=
−
⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
(0;1)M
'
0 0 0
( )( )
3
1
4
y y f x x x
y x
− = −

0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có:
'
2
5
( )
( 2)
f x
x
−
=
−
.
Theo đề bài ta có:
'
0 0
( ) 5 1f x x= − ⇔ =
hoặc
0
3x =
.
Với
0 0
1 3x y= ⇒ = −
1
(1; 3)M⇒ −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
,
biết tiếp tuyến đi qua
2
( ; 1)
3
A −
.
Phân tích:
Cần lưu ý học sinh rằng điểm
2
( ; 1) ( )
3
A C− ∉
nên không sử dụng định lý trên (phân biệt loại
tiếp tuyến “tại” với “đi qua, kẻ từ, xuất phát từ”).
Ta lập phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại tiếp điểm
0 0 0
( ; )M x y
nào đó theo một ẩn là
0
x
.

(3 3)( ) 3 1y x x x x x= − − + − +
Do
2
( ; 1)
3
A d− ∈
nên
2 3
0 0 0 0
2
1 (3 3)( ) 3 1
3
x x x x− = − − + − +
2
0 0
2 ( 1) 0x x⇔ − =
0
0x⇔ =
hoặc
0
1x =
Với
0
0
'
1
0
(0) 3
y
x


=

Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
2
(1; 1)M −
là:
1y = −
Dạng 3: Cho đường thẳng
: ad y x b= +
. Tìm điều kiện của
a
(hoặc
b
) để
d
tiếp xúc với đồ thị
( )C
.
Minh họa điều kiện tiếp xúc:
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
( )C
.
Gọi
: ad y x b= +

'
0
( ) a
( )
f x x b
f x a
= +



=


Ngược lại, với
0
x
nào đó thỏa mãn hệ pt
0 0
'
0
( ) a
( )
f x x b
f x a
= +



=


( ; )M x y
0
x
0
y
1
( )C
2
( )C
d
0
x
0
M
Gọi
d
là pttt chung của
1
( )C
và
2
( )C
tại
0
M
. Ta có hệ số góc của
d
là
' '
0 0

=


Ngược lại, với
0
x
nào đó thỏa mãn hệ pt
0 0
' '
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=



=


được xem là hoành độ tiếp điểm của
đồ thị hàm số
( )y f x=
với đồ thị hàm số
( )y g x=
.
Khi
( )y g x=
có đồ thị là đường thẳng thì


=

Nghiệm của hệ phương trình trên (nếu có) là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ 6: Với giá trị nào của
m
thì đường thẳng
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị của
( )C

của hàm
số
3
4 3y x x= −
.
Giải:
Ta có
' 2
( ) 12 3f x x= −
.
Đường thẳng
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị
( )C

khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây có
nghiệm
3 3 2
'

m
thì đường thẳng
: 9d y x m= +
tiếp xúc với đồ thị của
( )C

của
hàm số
3
3 1y x x= − +
.
Phân tích:
Theo đề bài ta có
'
0 0 0
( ) 9f x x y= → →
0 0
( ; )x y d m∈ →
Giải:
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Theo đề bài ta có
'
0 0
( ) 9 2f x x= ⇔ = ±
Với
0 0
2 3x y= ⇒ =

nghiệm
3
3
' '
2
( ) ( )
3 1 9 15
12 1
17
( ) ( ) 2
3 3 9
f x g x
x x x m m
m x x
m
f x g x x
x
=

− + = + = −
 
= − +


⇔ ⇔ ⇒
  

=
= = ±
− =

( ; )M x y
là
'
0
( )f x
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 7
7
Như vậy ta cần tìm
0
x
sao cho
'
0
( )f x
đạt giá trị nhỏ nhất trên
¡
.
Chú ý: nếu là HS lớp 12, thì ta có thể sử dụng bảng biến thiên.
Giải:
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
' 2 2
0 0 0 0 0
( ) 3 6 5 3( 1) 8 8,f x x x x x= + − = + − ≥ − ∀
'
0 0

( ; )M x y
.
Chọn hàm số
( )y f x=
, giả sử
( )y f x=
có tập xác định
D
. Ta lấy
0
x D∈
bất kỳ rồi tính
0
y
.Chẳng hạn:
Ví dụ 9: chọn
3 2
( ) 3 5y f x x x x= = − − +
có TXĐ
¡
.
Ta lấy
0
1x =
rồi tính được
0
6y = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2

x
y
x
−
=
−
có đồ thị
( )C
, viết pttt tại giao điểm của
( )C
với đt
: 2 5 0d x y+ − =
.
Bạn cũng có thể cho đt
d
dạng tham số
:
5 2
x t
d
y t
= −


= +

Còn nếu bạn muốn có một giao điểm, ta có thể chọn đt
: 2d x =
.
Đối với hàm số

0
x
Ta làm như dạng 1.1 nhưng không nêu ra
0
y
. Đặc biệt, ta cũng có thể yêu cầu viết pttt tại
điểm có hoành độ là nghiệm của pt
'
0y =
(tiếp tuyến song song hoặc trùng với
Ox
), hoặc
''
0y
=
. Chẳng hạn:
Ví dụ 12: Ta muốn chọn một hàm số bậc 3 có hai cực trị và yêu cầu viết pttt tại đó, tôi làm
như sau:
Ta muốn hoành độ cực trị là -2 và 0, ta xuất phát từ pt
2
3 ( 2) 0 3 6 0x x x x+ = ⇔ + =

Ta tính
2
2 3
(3 6 ) 3x x dx x x c+ = + +
∫
Ta đặt
3 2
3y x x c= + +

+∞
0
0
++
−
0
4−
−∞
+∞
Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
có đồ thị
( )C
, viết pttt của
( )C
tại điểm có hoành độ
là nghiệm của
'
0y =
(triệt tiêu
'
y
).
Dạng 1.3 Biết
0
y
* Đối với hàm số
a
( 0, 0)

0
x
( vì pt bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực). Vấn đề là với
0
y
mà bạn chọn
sẽ tính được bao nhiêu
0
x
phân biệt, ứng với bao nhiêu tiếp điểm cần lập tiếp tuyến?
Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
, vấn đề cũng được đặt ra tương tự.
Để trả lời câu hỏi trên, ta xét ví dụ sau đây:
*Đối với hàm số
3 2
a ( 0)y x bx cx d a= + + + ≠
.
Ví dụ 13:Ta xét hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
có đồ thị
( )C
,
ta đã biết hàm này có hai cực trị,
ta có bảng biến thiên
Xét pt
3 2
0

Ví dụ 14: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung
độ bằng
0
1y = −
sẽ tìm được 3 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là:
0;1; 2−
ta làm như sau:
Ta xuất phát từ
3 2 3 2
2 ( 1)( 2) 0 2 2 2 0 2 2 3 1x x x x x x x− + = → + − = → + − = −
Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
2 2 3y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng
1−
.
Ví dụ 15: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung
độ bằng
0
1y = −
sẽ tìm được 2 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là:
1; 2−
và tiếp tuyến tại
hoành độ bằng

, từ ví dụ trên ta có bài toán :
Cho hàm số
3 2
3 4y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại giao điểm của
( )C

với trục hoành.
Ví dụ 17: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, có hai cực trị với yêu cầu viết pttt của đths tại
0
y
nào đó chỉ có một giá trị
0
x
. Dựa vào bảng biến thiên của ví dụ 13 ta lấy
0
2x =
, ta tính
được
0
16y =
. Kiểm tra lại bằng MTBT với
0
16y =
ta tìm được
0

∫
Chọn
3 2
2 6 6 1y x x x= − + − −
Cho
0 0
0 1x y= ⇒ = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
2 6 6 1y x x x= − + − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung
độ bằng
1−
.
Ví dụ 20: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, không có cực trị, trường hợp
'
0y =
vô nghiệm.
Ta làm như sau:
Ta chọn
, ,a b c
sao cho
2
4b ac<
. Nếu muốn có hàm số bậc 3 có hệ số nguyên thì

tại điểm có tung độ
bằng
1
.
*Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
.
Chúng ta đã biết rằng:
0ab <
(hàm số có 3 cực trị, cụ thể:
0, 0a b> <
: có 1CĐ và 2 CT;
0, 0a b< >
: 1CT và 2CĐ ),
0ab ≥
(hàm số có một cực trị) và hàm số luôn có cực trị tại
0x =
.
Ví dụ 21: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 4 giá trị
0
x
phân biệt,
(không có
0x
=
).

Do đó:
0
4
5
b
c y
−
= +
Chọn
0
5, 1, 1, 3b a y c= = − = = −
ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
5 3y x x= − + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng
1
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 12
12
Ví dụ 22: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 3 giá trị
0

−
= = ⇒ =
Do đó:
0
c y=
Chọn
0
4, 1, 2b a y c= − = = = −
ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
4 2y x x= − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ bằng
2−
.
Ví dụ 23: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 2 giá trị
0
x
phân biệt
là hoành độ của cực trị, tức là tiếp tuyến tại đây song song hoặc trùng với trục
0x
. Giả sử ta
muốn 2 hoành độ cực trị là

4 2
2 3y x x= − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ bằng
4−
.
Đặc biệt nếu bạn chọn
0
0y =
thì có thể yêu cầu: viết pttt tại giao điểm của đths với trục
hoành.
Dạng 1.4 Biết
'
0
( )f x
*Đối với hàm số:
a
( 0, 0)
x b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Ví dụ 24: Giả sử với giá trị
k
nào đó ta có bài toán: viết pttt của

13
Chẳng hạn ta chọn
8, 2m k= − = −
. Ta được hàm số dạng
a
1
x b
y
x
+
=
−
, trong đó
,a b
thỏa
8a b
+ = −
. Nếu muốn với 2 giá trị
1, 3x x= − =
ta tìm được giá trị
y
nguyên thì ta thế
1 2
1, 3x x= − =
vào
a
1
x b
y
x

⇒ = = ∈
− −
¢
, với
,a n∈¢
.
Như vậy ta chỉ cần chọn
,a b
thỏa
8
( ) 2
a b
a b
+ = −


+

M
hay
8a b+ = −
, ta có thể chọn
3, 5a b= − = −
. Ta
có bài toán:

Cho hàm số
3 5
1
x

: 2 2011 0x y∆ − + =
.)
* Đối với hàm số:
3 2
a ( 0)y x bx cx d a= + + + ≠
.
Ví dụ 25: Giả sử ta tìm hàm đa thức bậc 3, mà với giá trị hệ số góc
1k =
ta tìm được 2 giá trị
1 2
2, 0x x= − =
.
Ta xuất phát từ:
2
( 2) 0( 0) 2 1 1mx x m mx mx+ = ≠ ⇒ + + =
.
Ta tính
2 3 2
( 2 1)
3
m
mx mx dx x mx x c+ + = + + +
∫
, ta chọn
m
thỏa
*
3 ,m k k= ∈¢
để được hệ số
nguyên. Chẳng hạn ta chọn

chọn
3c
=
ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
3 3y x x x= − − + +
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ
số góc bằng
1
.(hoặc tiếp tuyến song song
: 2y x∆ = +
, hoặc tiếp tuyến vuông góc
: 2y x∆ = − +
, hoặc tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục
0x
một góc bằng
0
45
.
Ta làm tương tự cho trường hợp nghiệm kép.
*Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
.
Ví dụ 26: Ta cần tìm một hàm số dạng

Xét
2 3 2
( ) (A )( ) Am ( ) ( ) 0g x x B mx nx q x An Bm x Aq Bn x Bq= + + + = + + + + + =
2
0 (2)
B
x
A
mx nx q

= −

⇔

+ + =


Giả sử ta muốn có hoành độ tiếp điểm
1
1x A B= ⇒ = −
. Chẳng hạn ta chọn
1, 1A B= =
, dựa
vào đ k (*) ta có
m n=
. Chẳng hạn ta chọn
4m n
= =
. Khi đó pt (2) trở thành
2

2c = −
(vì
y c=
). Ta có bài toán:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 15
15
Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x x= = − −
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
2 2011x y− =
.
Nếu ta muốn ngoài
1
1x =
, ta có thêm một giá trị
2
x
nữa, tức là ứng với
1q =
(pt:
2 2
4 4 1 0 (2 1) 0x x x+ + = ⇔ + =
có nghiệm kép
2 1
1
1
2
x x= − ≠ =

2
1x =
ta có
8q = −
,
theo định lý Viet ta có
2 3 3
2 2x x x= − ⇒ = −
.
Như vậy ta có
1; 1; 4; 8A B m n q= = − = = = −
suy ra
3
( ) 4 12 8g x x x= − +
.
Ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
( ) 6 1y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
8 3x y− =
Nếu ta muốn ngoài
1
1x =
, ta có thêm hai giá trị
2 3
,x x
nữa, ta thử với
2

.
Ví dụ 27:
Xét hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +
. Giả sử ta cần tìm điểm
( ; )A a b
không thuộc đths, với yêu
cầu viết pttt của đths đi qua
( ; )A a b
sẽ tìm được giá trị hoành độ
0
x
nào đó mà ta chọn.
Gọi
0 0
( ; )x y
là tọa độ tiếp điểm.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 16
16
Pttt của đths tại
0 0
( ; )x y
là:
2 2
0 0 0 0
(3 3)( ) 3 3 1y x x x x x= − − + − +
Vì tiếp tuyến đi qua
( ; )A a b
nên :

=

Nếu muốn có hai hoành độ tiếp điểm là
0 0
0, 1x x= =
thì ta có
3 2
1
2 3
a
a= ⇔ =
, từ
3 1 0a b+ − =

ta có
1b = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +

có đồ thị (C), viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đi qua
2
( ; 1)
3
A −
.
Nếu pt (3) có nghiệm
0

a a a⇔ + − ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Ta có thể lấy
2a = −
pt (4) có nghiệm kép
0
2x = −
, suy ra
( 2; 1)A − −
( ta được
0
1x =
và
0
2x = −
). Ta có bài toán:
Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +

có đồ thị (C), viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đi qua
( 2; 1)A − −
.
Dạng 3: Cho đường thẳng
: ad y x b= +
. Tìm điều kiện của
a
(hoặc
b
) để

x
y
x
− −
=
−
có đồ thị
( )C
. Tìm điều kiện của
m
để đường thẳng
2y x m= − +
tiếp xúc với đồ thị (C).
(
3, 13)m m= − =
C) BÀI TÂP
CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) = x
3
– 3x + 5 khi biết:
1, Hoành độ của tiếp điểm là: x
1
= -1; x
2
= 2
2, Tung độ tiếp điểm là : y
1
= 5; y
2

Cho điểm A(x
0
;y
0
)
∈
đồ thị (C): y = x
3
– 3x + 1. Tiếp tuyến với (C) tại
A(x
0
;y
0
) cắt đồ thị (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm tọa độ điểm B
Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96
Cho (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
1, CMR không tồn tại 2 điểm nào
∈
(C) để 2 tiếp tuyến tại đó
⊥
với nhau
2, Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này
⊥
với đường thẳng: y = kx + m
Bài 6:
Cho (C

3
– 3x
1, Cmr: đt (
∆
m
): y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại điểm A cố định
2, Tìm m để (
∆
m
) cắt (C) tại A, B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị
tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01
Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =
3
1
x
3
– x +
3
2
mà tiếp tuyến tại đó
⊥
với
đường thẳng y = -
3
2
3
1
+x
Bài 10:

x
3
– mx
2
–x + m – 1. Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc
min
Bài 14: ĐH mỏ địa chất – 94
Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Cmr trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có
hệ số góc min nếu a>0 và lớn nhất nếu a<0.
Bài 15: HV Công Nghệ BCVT TP.HCM – 99
Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C): y = x
3
– 3x – 2
Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A
1
,B
1
,C
1
. Cmr A
1
,B
1

1
): y = x
3
– 4x
2
+ 7x – 4 và (C
2
) y = 2x
3
– 5x
2
+ 6x – 8. Viết p.tr tiếp
tuyến của (C
1
) và (C
2
) tại giao điểm chung của (C
1
)
∩
(C
2
)
Bài 18: ĐH KTQD – 98
Cmr trong tất cả các tiếp tuyến (C): y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 3, tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc min

Cho hàm số (Cm): y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1. Xác định m để (Cm) cắt đt y =
1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D,E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E
⊥
với
nhau.
Bài 23:
Cho hàm số (C): y = x
3
+ mx
2
- m -1
1, Lập ptr tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với
m∀
Bài 24:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = m(x+1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm A cố định
2, Hãy xác định m để (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B,C khác nhau sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Bài 25: Tốt nghiệp trung học PT năm 2006
Cho hàm số (C): y = x
3
– 6x
2

3 3y x x= + +
có đồ thị (C). Gọi A,B là hai điểm mà tại đó
'
y
triệt tiêu. Viết pttt tại các điểm đó.
Bài toán 2: Viết Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho
trước
Bài 1: ĐH An ninh D – 01
Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
biết tiếp tuyến
⊥
với đt y =
x
3
1
Bài 2: ĐH Dân lập Đông Đô – 01
Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
+ 1 biết t.tuyến // y = 9x +
2001
Bài 3:
Cho đồ thị (C): y = x
3
– 3x + 7
1, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // với y = 6x – 1

– 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến
⊥
y =
3
x
Bài 8:
Cho đồ thị (C): y = 2x
3
– 3x
2
– 12x – 5
1, Viết p.tr tiếp tuyến // với y = 6x – 4
2, Viết p.tr tiếp tuyến
⊥
y = -
3
1
x + 2
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 21
21
3, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với y = -
2
1
x + 5 góc 45
0
Bài 9:
Cho đồ thị (C): y =
3

3
1
x
3
+ x
2
– 8x + 15
Lấy điểm A bất kì thuộc (C) nằm ở giữa CĐ và CT. CMR luôn tìm được 2 điểm B
1
và B
2

∈
(C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B
1,
B
2
vuông góc với tiếp tuyến tại A
Bài 11:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2. Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp
tuyến
⊥
với đt (d): 3x – 5y – 4 = 0
Bài 12:
Cho hàm số (C): y = x
3

3
2
3 1
3
x
y x= − +
có đồ thị (C). Viết pttt của (C) song song với
đt
7 1 0x y− + =
.
Bài 16: cho hàm số
3 2
1
3 2 3
x x
y m= − +
có đồ thị
( )
m
C
gọi M là điểm trên
( )
m
C
có
1x = −
. Tìm m sao cho tiếp tuyến tại M song song với đt
: 5 0d x y− =
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 22

– 3x
2
+ 5
Bài 2:
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+6(m-2)x –
1
Bài 3:
Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
– 3x
2
+ 2
1, Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(
9
23
;-2) đến (C)
2, Tìm trên đt y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
⊥
với nhau
Bài 4: ĐH SPII HN – B – 99
Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 5: HV BCVT TP.HCM – 98
Cho (C): y = x

3
- x – 6
Bài 10: ĐH Y thái bình – 01
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(3,0) đến y = -x
3
+ 9x
Bài 11: ĐH Dân lập Đông Đô – 20
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0,-1) đến y = 2x
3
+ 3x
2
– 1
Bài 12: ĐH Dân lập Đông Phương – 01
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,2) đến y = x
3
– 3x
2
+ 2
Bài 13: ĐH Cần Thơ – D – 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,-2) đến y = x
3
- 3x
2
+ 2
Bài 14: ĐH An ninh – G - 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,2) đến y = x
3
- 3x
Bài 15: ĐH An ninh – G – 20
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(1,0) đến y = x

+ bx

+ c
Tìm các điểm M
∈
(C) để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 21:
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(-2;5) đến (C): y = x
3
-9x
2
+ 17x + 2
Bài 22: ĐH Ngoại ngữ - 98
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(
9
4
;
3
4
) đến (C): y =
3
1
x
3
– 2x
2
+ 3x + 4
Bài 23: Phân viện báo chí – 01
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến (C): y = 2x
3

Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ
thị (C): y = x
3
+ 3x
2
trong đó có 2 tiếp tuyến
⊥
với nhau.
Bài 29:
Cho hàm số (C): y = x
3
-3x
2
+ 2
Lập ptr các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(
9
23
;-2)
Bài 30:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2
1, Qua A(1;0) có thể kẻ mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C). Hãy lập p.tr các tiếp
tuyến ấy
2, Cmr không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị // với tiếp tuyến đi qua
A(1;0) của đồ thị
Bài 31:
Cho hàm số (C): y = x

Với giá trị nào của m thì đt
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
3
4 3y x x= −
Bài 36: cho đường cong (C)
3 2
9 17 2y x x x= − + +
, qua A(-2;5) có thể kẻ được mấy
tiếp tuyến với(C).
CHỦ ĐỀ 2
: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài 1:
Cho hai đồ thị (C): y = f(x) = (x+1)
2
(x-1)
2
và (P): y = g(x) = 2x
2
+ m
1, Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau
2, Viết ptr tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) và (P)
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 25
25