SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

THANH HÓA NĂM 2013
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) các khối A,
B, D môn Toán đóng một vai trò quan trọng. Trang bị những kiến thức, phương
pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu
trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình lớp 11, 12
phần phương trình tiếp tuyến nói riêng. Phương trình tiếp tuyến (Pttt) của đồ thị
hàm số y = f(x) là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT có thể
phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các
kì thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ, nhưng thời lượng nội dung này rất ít, học sinh còn
lúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Từ những kinh nghiệm giảng dạy,
tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi
lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài
toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đối
tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bình
tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí. Từ đó,
tôi đã lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình

phương pháp tư duy, của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của đồ thị
hàm số còn yếu, do một số nguyên nhân sau:
3
- Học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập
một cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền
tảng kiến thức cũ,
- Thời lượng dành cho nội dung này rất ít.
- Tài liệu tham khảo còn chung chung
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra
phương pháp chia thành bốn bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối
tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập
Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy
và đã sử dụng để dẫn dắt học sinh thực hiện trong thời gian qua.
1. Cơ sở lí thuyết
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ
số góc.
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k =
( )
0
' xf
x
0
: là hoành độ tiếp điểm
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M

0
(x
0
; f (x

' xf
;
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
ta được pt tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4).
4

+ 10 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C) tại điểm M(-1; 3). ĐS: y = 12x + 15.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M thỏa
mãn tính chất P cho trước
Cách giải:
+ Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x
0
; y
0
+ Tính
( )
xf '
,
( )
0
' xf
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0

=
0
1
0
1
1
x
y
x
x
x
y

⇒
M(0; -1). Ta có
( )
( )
2
1
2
'
+
=
x
xf

⇒

2)0(' =f
. Pt tiếp tuyến là y = 2x - 1.

1
0
496
23
y
x
x
y
xxxy

( )
( )



⇒
0;4
0;1
2
1
M
M
, y'(1) = 0; y'(4) = - 9.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 0 và y = -9x +36.
Ví dụ 3. Cho hàm số
x
x
y
−
−

Ví dụ 4. Cho hàm số
xxxy 32
3
1
23
+−=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến d
của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số
góc nhỏ nhất. (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004).
Giải.
* Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm uốn
Điểm uốn của (C) là






3
2
;2I
, y'(2) = - 1. Pt tiếp tuyến là
3
8
+−= xy
.
* Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Gọi k
1
là hệ số góc của tiếp tuyến d

≤
k
2
,
x∀
.
Dấu
""
=
xảy ra
⇔
x = 2 (là hoành độ tiếp điểm)
⇒
k
1
là bé nhất.
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
6
Ví dụ 5. Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
+ 4 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) tại điểm uốn.
b) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) thì tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Đáp số (ĐS).
* Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn là
33 += xy
.

1
là lớn nhất.
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Chú ý: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
( )
0≠a

* Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất.
* Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
2.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm có
hoành độ x
0
Cách giải: + Tính
( )
xf '
⇒

( )
0
' xf
+ Thay x
0
vào (C) tìm y
0
+ Thay x
0

) + f(x
0
)
+) Ta có
( )
xf '
= 3x
2
- 3
⇒

( )
1'f
= 0
+) Thay x
0
= 1 vào (C), ta được y
0
= f(1) = 3
+) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + 3
⇔
y = 3
Ví dụ 2. Cho hàm số y =
22
53
+
+
x
x
, ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

= - 2x + 4
⇒

( )
0
'' xf
= -2x
0
+ 4
Từ giả thiết, ta có
( )
0
'' xf
= 6
⇒
- 2x
0
+ 4 = 6
⇔
- 2x
0
= 2
⇔
x
0
= - 1
⇒
y
0
=

0
' xf
vào y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
ta được kết quả.
Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) =
1
32
+
−
x
x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải. Từ giả thiết, ta có y
0
= 1
⇒

1
32
0
0
+

5
1
Một số bài tập liên quan đến bài toán 1
Bài 1. Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
(C). Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến
của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của
các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải. Ta có
( )
2
2
1
'
−
−
=
x
y
. Giả sử M



0
0
2
0
−
−
+−
−
−
=
x
x
xx
x
y
.
8
Gọi A, B là giao điểm của d với hai tiệm cận, nên








−
−
2
22

0
0
0
=
−
−
=+
−
−
=+

Giao điểm của hai tiệm cận là I(2; 2). Tam giác IAB vuông tại I, nên IM là bán
kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB. Diện tích của đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB là:
( )
















0
≥






−
+−=
x
xS
. Dấu " = " xảy ra khi
( )
( )
2
0
2
0
2
1
2
−
=−
x
x

⇔



* Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C).
* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của
hai tiệm cận.
c) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy.
Giải. Ta có:
( )
2
1
2
'
−
=
x
y
. Vì M
∈
(C)
⇒










3
1
2
0
0
0
2
0
−
−
+−
−
=
x
x
xx
x
y
.
Gọi
{ }
1
∆∩= dA

⇒
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )











−
−
0
0
1
5
;1
x
x
A
.
Gọi
{ }
2
∆∩= dB

⇒
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )



≠x

⇔



−=
=
12
1
0
xx
y
B
B
⇒
B(2x
0
- 1; 1).
* Ta có: x
A
+ x
B
= 1 + 2x
0
- 1 = 2x
0
= 2 x
M
y

IBIAS
IAB
.
2
1
=
∆
,
1
4
0
−
=
x
IA
,
12
0
−= xIB
⇒

412.
1
4
.
2
1
0
0
=−

12
1
4
0
0
−=
−
⇔ x
x
.
Giải ra ta được
21
0
±=x
( ) ( )
21;21;21;21
21
−++−⇒ MM
cần tìm.
Khi đó: C
( ) ( )
.21422
2
min
+=+= IA
Ta có:
( )
121' =±y
Phương trình tiếp tuyến tại M
1

xk
x
x
2
)1(
2
1)1(
1
3
có nghiệm. Thay (2) vào (1)
ta được:
( )
( )
1311
1
2
1
3
2
+=−⇔+−
−
=
−
−
xxx
x
x
x

⇒

/
1
1
2
0
−
==
x
yk
x
;
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M' là
( )
( )
2
0
/
22
12
2
0
−−
==
−
x
yk
x
⇒

( )

C = a + b +
22
ba +
nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
Vì C = a + b +
22
ba +
Sababab )22()22(22 +=+=+≥
.
Dấu
((
=
))
khi và chỉ khi a = b.
Bài 3. Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
(C).
a) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy.
11
I
O
(C)
(1)










−1
;
0
2
0
0
x
x
xM
,
1
0
≠x
.
Đồ thị (C) có tâm đối xứng là giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận của (C),
Điểm M' đối xứng với M qua I
⇒
M'
∈
(C).
Ta có







−
−
−
0
2
0
0
1
2
;2'
x
x
xM
;
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
1
2
12

y
. M
∈
(C)
⇒








−1
;
0
2
0
0
x
x
xM
;
1
0
≠x
Tiệm cận đứng của (C) là
1
∆
: x = 1; tiệm cận xiên của (C) là

{ }
1
∆∩= dA
⇒









−1
2
;1
0
0
x
x
A
. Gọi
{ }
2
∆∩= dB

⇒
B(2x
0
- 1; 2x

−x
x
= 2 y
M
12
⇒
M là trung điểm của AB.
* Vì
21
∆∩∆
tại I
⇒
I(1; 2). Ta có:
∧
∆
= AIBIBIAS
AIB
sin
2
1
. Mà
1
2
0
−
=
x
IA
và
122

=
−
−=
x
xIBIA
là số không đổi
⇒
IAB
S
∆
không đổi.
*) Gọi C là chu vi
IAB∆
. Ta có: C
ABIBIA ++=
Mà:
AB
2
= IA
2
+ IB
2
- 2.IA.IB.cos
∧
AIB
= IA
2
+ IB
2
-

2
1
1±=⇔ x
⇒








−−
−
4
4
4
1
2
1222
;
2
1
1M
và












=
−
−
+−=
−
k
x
xx
xk
x
x
2
2
2
1
2
21
1
Giải hệ ta được x = x - 1 (vô lí)
⇒
phương trình vô nghiệm. Vậy không có tiếp
tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm hai tiệm.
Câu hỏi tương tự như bài 1, 2, 3 cho các hàm số sau:
12

cbxax
y
+
++
=
2
, (ad
≠
0), đều có chung một số tính chất sau:
1. Trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với
nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy tại giao điểm của hai tiệm
cận của nó.
2. Tiếp tuyến của đồ thị tại mọi điểm M thuộc đồ thị hàm số đều:
+ Cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B thì M là trung điểm của đoạn AB.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi
IA = IB, I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A và B lần lượt là giao điểm
của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận).
+ Không đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
3. Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết
hệ số góc của tiếp tuyến
3.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ
số góc của tiếp tuyến bằng k
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
+ Tính y' =
( )
xf '
. Giải phương trình

bkxxf
'
(Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)
14
+ Giải phương trình
kxf =)(
'
tìm x thế vào phương trình
bkxxf +=)(
tìm b
+ Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = - x
4
- x
2
+ 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6.
Giải. * Cách 1. Ta có y' = - 4x
3
- 2x
Giải phương trình - 4x
3
- 2x = - 6
⇔
x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0
Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0
⇔
y = - 6x + 6.
* Cách 2. Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)

2
)1(
12
'
−
−−
=
x
xx
y

⇒

( )
2
0
0
2
0
0
1
12
)('
−
−−
=
x
xx
xy
= -1

Hệ phương trình sau có nghiệm:







−=
−
−−
+−=
−
+−
1
)1(
12
1
43
2
2
2
x
xx
bx
x
xx
.Giải hệ phương trình tìm được:
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 4 và y = - x + 4.
3.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ

y

a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;
* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
( )
k
x
=
+
2
1
3
,
1−≠x
⇔




−=⇒=
=⇒−=
20
42
yx
yx
. Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:

( )
27
1
3
2
=
+x
,
1−≠x
⇔






=⇒−=
−=⇒−=
10
3
4
8
3
2
yx
yx
. Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔

). Giải hệ phương trình ta được
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.
Ví dụ 2. Cho hàm số:
xxxy 2
3
1
23
++=
(C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất.
Giải. Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k.
Khi đó: k = y' = x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
+ 1
≥
1,
∀
x .
Dấu bằng xảy ra
⇔





−=
−=
3

T
.k
d
= - 1;
Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d
⇔
k
T
= k
d
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
22
232
2
2
+
−+
=
x
xx
y
(C). Chứng minh rằng tại các giao điểm
của (C) với trục hoành các tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.
Giải. Ta có:
22
2
)1(4
6166
'

1
2
1
').2(' −=






− ff
.
Vậy tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số sau không có hai điểm nào mà tiếp
tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau:
a) y = x
3
+ 2x
2
+ 3x + 7; b) y = - x
3
+ 3x
2
- 5x - 4.
Giải. a) TXĐ: D = R. Ta có: y' = 3x
2
+ 4x + 3 > 0,
x∀
R
∈

−= xy
. ĐS: y = - 6x + 10.
(Trích đề thi ĐH-CĐ khối D năm 2010).
Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
43
34
−
−
=
x
x
y
, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
20137 +−= xy
.
ĐS: y = - 7x + 6;
3
46
7 +−= xy
. (Câu I,2 đề 8 ôn thi TN năm 2013)
Ví dụ 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
2
1
2
+
−+
=
x
xx

y
1
=
( )
0
' xf
(x
1
- x
0
) + y
0
(2);
+ Giải phương trình (2) tìm x
0
, tính y
0
và
( )
0
' xf
;
+ Thay các kết quả tìm được vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Tìm hệ số góc
+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
18
+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
; y
1

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2);
b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau.
Giải. a) * Cách 1: Ta có y' = 3x
2
- 6x
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0

⇒

23))(63(
2
0
3
000
2
0
+−+−−= xxxxxxy
(1)
+ Tiếp tuyến d qua A
⇔

9
)
2
3
(')(';
8
11
2
3
0)0(')(';20
000
000
fxfyx
fxfyx
;
+ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y = 2 và
2
4
9
+−= xy
.
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 2) có hệ số góc k là : y = kx + 2
+ Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
⇔
Hệ sau có
nghiệm:
( )
( )



−=⇒=
=⇒=
4
9
2
3
00
kx
kx
. Vậy có hai tiếp tuyến là: y = 2 và
2
4
9
+−= xy
.
b) Gọi A(a; 2) thuộc đường thẳng y = 2;
Đường thẳng d qua A(a; 2), có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - a) + 2;
Để có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thì hệ phương trình sau phải có hai nghiệm:



=−
+−=+−
kxx
axkxx
63
2)(23
2
23




−=
≠
>∆
1)(').('
06
0
21
xyxy
a
, và áp dụng Viét:
2
)1(3
21
+
=+
a
xx
, x
1
.x
2
= 3a.
Giải ra ta được: 27a = - 1
⇔

27
1

3
;0B
.
ĐS: Có ba tiếp tuyến là:
2
3
=y
;
2
3
22 += xy
;
2
3
22 +−= xy
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8).
Giải. * Cách 1: Ta có:
( )
2

( )
( )
1
12
1
3
0
0
0
2
0
−
+
+−
−
−
=
x
x
xx
x
y
, (1)
+ Tiếp tuyến d qua M
⇔
Tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình (1)

⇔

( )

32';52
00
−==⇒= yyx
.
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 11.
* Cách 2: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
+ Lập phương trình d qua M(1; 8) có hệ số góc k là:
( )
81 +−= xky
+ d là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
( )



=
+−=
kxf
xkxf
'
81

Giải hệ, ta được: x = 2; k = - 3. Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = - 3x + 11.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 2 (C). Chứng minh rằng:

b) Gọi M
∈
(C)
⇒
( )
23;
2
0
3
00
−+ xxxM
,
1
0
−≠x
(vì hoành độ điểm uốn là x = - 1).
Phương trình d qua M có hệ số góc k có dạng:
( )
23
2
0
3
00
−++−= xxxxky
d là tiếp tuyến của (C)
⇔
Hệ phương trình sau có nghiệm:
( )



+
=
x
x
,
21
x
0

≠
-1. Đối với hàm bậc ba, ứng với một tiếp điểm thì có một tiếp tuyến.
Vậy số nghiệm x của hệ là số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đồ thị (C).
Vậy hệ phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt. Qua M bất kì thuộc (C),
không phải là điểm uốn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x
4
- x
2
+ 1 (C). Tìm những điểm trên Oy sao cho
từ những điểm đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C).
Giải. Gọi M là điểm bất kì thuộc Oy
⇒
M(0; b).
Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y = kx + b.
Từ M kẻ được ba tiếp tuyến
⇔
Hệ phương trình




xxk
bxkxx
63
)1(13
2
23

⇔
- 2x
3
+ 6x
2
- 6x + 1 = b có nghiệm.
⇔
đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) = - 2x
3
+ 6x
2
- 6x + 1 .
Ta có:
xxxxxg ∀≤−−=−+−= ,0)1(66126)('
22
. Hàm g(x) là hàm nghịch biến
⇒
đường thẳng y = b luôn cắt đồ thị g(x) tại một điểm duy nhất
⇒
Hệ có
nghiệm duy nhất. Vậy qua M(1; b) chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với (C).
Chú ý: Cho hàm số y = ax
3

0
) có dạng: y =
( )
0
' xf
(x - x
0
) + y
0
,
+ Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
;
+ Thay x
0
; y
0
;
( )
0
' xf
vào y =
( )
0

. Gọi M(x
0
; y
0
)
∈
(1),
2
3
0
−≠x

Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:
( )( )
000
' yxxxfy +−=
(*).
Từ giả thiết, ta có:
{ }
{ }





=∩
=∩
BOyd
AOxd
⇒

yx
yx
.
* Với x
0
= - 1; y
0
= 1, phương trình y = - x (loại)
* Với x
0
= - 2; y
0
= 0, phương trình tiếp tuyến là y = - x - 2.
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 2.
23

OAB∆
cân tại O
Ví dụ 2. Cho hàm số
x
xy
1
+=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),
biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox tại x =
α
, cắt trục Oy tại
β
=y
sao cho



−=
(1). Theo đề ra, ta có:
( )
0;
α
A
và
( )
β
;0B
thay vào (1) ta giải được:



−
−=
1
2
2
0
0
x
x
α
;
0
2
x

−
x
x
x
x
x
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
22±−= xy
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
2
−
=
x
x
y
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam
giác OAB thỏa mãn
2OAAB =
.
Giải. Ta có:
( )
2
2
4
'
−

−
=
x
x
xx
x
y
.
* Cách 1: Theo giả thiết:
{ }
{ }





=∆
=∩
=∩
2: OAABOAB
BOyd
AOxd

OAB∆⇒
vuông cân tại O.
Do đó:



−=⊥


( )
42
2
0
=−x
.
Giải ra ta được: x
0
= 0
⇒
phương trình d: y = - x (loại)
24
x
0
= 4
⇒
phương trình d: y = - x + 8.
+ Nếu
⊥d
2
d
:
xy −=
thì
1.
2
−=
dd
kk

AOx =∩








⇒ 0;
2
2
0
x
A
; d
{ }
BOy =∩
( )








−
⇒
2

= 4.
Tương tự như trên ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x + 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số
1
2
+
−
=
x
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất.
Giải. Ta có:
( )
2
1
3
'
+
=
x
y
. Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C).
Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:








−−
− 0;
3
24
0
2
0
xx
A
; Ta có:
3
24
0
2
0
−−
=
xx
OA
.
{ }
BOyd =∩
⇒

1
24
+
−−
=
x
xx
OB
.

rpOBOAS
OAB

2
1
==
∆
, ( với
2
ABOBOA
p
++
=
, r là bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác OAB).
ABOBOA
OBOA
r
++
=⇒