Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
TĨM TẮT ĐỀ TÀI
TÊN ĐỀ TÀI: “Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh
lớp 9 trường THCS Long Giang”.
Họ và tên: Nguyễn Thị Đào Ngun
Đơn vị: Trường THCS Long Giang
I. Lý do chọn đề tài:
- u cầu đối với học sinh trong thời đại mới.
- Vai trò của mơn tốn trong trường phổ thơng.
- Thực trạng q trình học tập của học sinh khi học phần “ Giải bài tốn bằng cách
lập hệ phương trình”.
- Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thể qua từng dạng tốn cơ
bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài
tốn giải bằng cách lập hệ phương trình nên tơi quyết định chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng
giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long
Giang”.
II. Đối tượng – Phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 9
1
, 9
2
trường THCS Long Giang.
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp điều tra.
+ Giả thuyết khoa học.
III. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình thơng qua bước phân tích
bài tốn, nhằm giúp cho học sinh tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn.
IV. Hiệu quả áp dụng:
Nếu học sinh nắm vững bước phân tích bài tốn thì các em khơng còn lúng túng khi

tích cực của học sinh.
Để giúp các em học tập mơn tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề
cập tới. Giáo viên khơng chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận
dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh
dễ hiểu nhất.
Chương trình tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức
lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em khơng những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại tốn. Qua cách giải các bài tốn rút ra phương pháp chung để giải mỗi
dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Tuy nhiên, trong thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền
thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của
học sinh.
Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, đồng thời qua q trình kiểm tra
đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài tốn bằng cách
lập hệ phương trình của bộ mơn đại số lớp 9. Tơi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến
thức tốn học trong phần giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình còn nhiều hạn chế
và thiếu sót.
Đặc biệt là các em rất lúng túng khơng biết giải bài tốn như thế nào? Bắt đầu từ
đâu? Hoặc khi đã có một số ý tưởng để giải bài tốn thì cách lập luận khơng rõ ràng,
mạch lạc, lời giải khi trình bày chưa thấy được mối tương quan, liên hệ giữa các đối
tượng có trong bài. Mặc dù cũng có vài học sinh tìm được các phương trình, giải hệ
phương trình tìm đúng kết quả của bài tốn nhưng nhìn chung chưa khoa học và chuẩn
xác.
- 2 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập các phương trình để giải
tốn, ngồi việc nắm lý thuyết thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển
khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng
học tập.

THCS Long Giang.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm thơng qua kết quả
kiểm tra một tiết và bài thi khảo sát chất lượng giữa HK
II
c/ Giả thuyết khoa học:
Để có thể học tốt dạng tốn này thì học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan.
Từ những bài tốn thực tế giáo viên giúp học sinh thất được tốn học gắn liền với đời
sống thực tế, tốn học khơng phải là những con số khơ khan, khơng biết nói. Nhờ vào
tán học giúp chúng ta giải được các bài tón thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển
chung của xã hội; giúp ta định hướng được các cơng việc cần làm, tìm được lời giải tối
ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho cuộc sống.
Bản thân giáo viên phải tích cực chuẩn bị các bài tập thật phong phú và đa dạng,
đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, muốn tìm được đáp số của bài tốn đặt ra
cần thấy được các mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài, tích cực suy nghĩ, tích
cực trao đổi với nhóm hoặc với giáo viên nhằm tìm được kết quả sau cùng. Khẳng định
cho học sinh thấy được nếu tiếp thu tốt các kiến thức tốn học ta có thể học tốt các mơn
khoa học tự nhiên và khoa học xã hội từ những bài tốn có liên quan đến hóa học, vật lý
hay các câu đố vui dân gian,…

- 3 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
B- NỘI DUNG
1/ Cơ sở lí luận:
Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ
phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì nghị
quyết trung ương IV khóa VII năm 1993 đã xác định: “áp dụng phương pháp giáo dục
hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề”. Nghị quyết trung ương II khóa VIII tiếp tục khẳng định “Phải đổi mới giáo dục đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của
người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào q

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư
- 4 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
tưởng, tin vào khả năng của mình trong q trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình”
ở lớp 9, tơi thấy cần phải phân loại các dạng bài tập khác nhau. Mỗi dạng bài tập đều
hướng dẫn học sinh cách lập các phương trình rồi giải hệ phương trình một cách thành
thạo. Điều quan trọng là các em phải biết phương pháp giải từng dạng bài tập. Việc này
đòi hỏi chúng ta phải tích cực quan tâm thường xun, khơng chỉ giúp các em nắm vững
lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập, rèn cho các em có
khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ tiến
bộ.
“Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” là phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ
thơng thường sang ngơn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại
lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho.
3.1- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH :
Trước hết phải cho các em nắm được các bước để “Giải bài tốn bằng cách lập
hệ phương trình”
Bước 1 : Lập hệ phương trình gồm các cơng việc :
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có).
- Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.
- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài tốn để lập hệ phương trình.
Bước 2 : Giải hệ phương trình. Tùy theo từng dạng hệ phương trình mà chọn
cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.
Bước 3 : Nhận định kết quả và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn
xem có thích hợp khơng (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đơi khi thiếu chặt chẽ).
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta

Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần
phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài tốn, ta giải
dễ dàng hơn.
Muốn lập được phương trình bài tốn khơng bị sai thì một u cầu quan trọng
nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc
đầu như thế nào? lúc sau như thế nào?
 Chẳng hạn khi giải bài tốn :
Phân tích:
- 6 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số tấn cá đánh bắt trong tuần ( đã biết), tổng số tấn
cá và số tuần đánh bắt (chưa biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có
quan hệ:
(Số tấn cá đánh bắt trong tuần) x (số tuần đánh bắt) = Tổng số tấn cá.
Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số tuần đánh
bắt theo kế hoạch và y là tổng số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề xuất) để
chuyển bài tốn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng
biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn ( Giáo viên kẻ bảng và hướng
dẫn học sinh điền vào bảng)
Số tấn cá đánh bắt
trong 1 tuần
Số tuần Tổng số tấn cá
Theo kế hoạch 20 x y
Đã thực hiện 26 x - 1 y+10
Khi đó:
- Phương trình (1) được thiết lập dựa trên địnnh mức trong kế hoạch
- Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế
Như vậy theo điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:
Ở chương trình lớp 9 thường gặp các bài tốn về dạng chuyển động ở dạng đơn
giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng qng đường… hoặc

= V
Riêng
+ V
dòng nước
- 7 -
20x = y
26(x-1)=y+10
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
V
ngược dòng
= V
Riêng
- V
dòng nước
-Chuyển động trên cùng một đường tròn:
Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau:
+Chuyển động cùng chiều:
Độ dài đường tròn (S) = (t).(v
1
-v
2
) (Giả sử v
1
, v
2
là vận tốc của hai vật, v
1
>v
2
)

Qng đường AC 30
30
x
x
Qng đường CB 20
20
y
y
Qng đường AB
3
13
Theo đề bài ta biết được những ơ nào?
HS: v
AC
, v
CB
, t
AB
Đề bài u cầu tìm đại lượng nào?
HS:Qng đường AC và CB
Hãy chọn các đại lượng đó là ẩn (S
AC
: x(km), S
CB
: y (km), đk 0<x<y)
Qng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào?
HS:y – x = 20 hay –x + y = 20 (1)
Biết qng đường và vận tốc đi trên mỗi qng đường, ta tính được đại lượng nào?
HS:thời gian đi trên mỗi qng đường
- 8 -

3
13
Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút =
3
13
(giờ) nên ta có phương trình thế
nào?
HS: x + y =
3
13
(1)
Qng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào?
HS: 20y – 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được x và y
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài tốn
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài tốn u cầu tìm qng đường nên
khi có thời gian rồi phải tìm qng đường.
Tóm lại : Khi giải dạng tốn chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa
biết, nên ở bước lập hệ phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết
làm ẩn.
Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài tốn u cầu cần phải tìm là ẩn nhằm
tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả.
- 9 -
x + y =
3
13

-30x + 20y =20

Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV
Cả 2 vòi
4
3
(bể) 1 giờ 20 phút =
3
4
giờ
Vòi I
x
1
x
Vòi II
y
1
y
Qua bảng phân tích ta tìm được phương trình:
x
1
+
y
1
=
4
3
(1)
Để tìm được phương thứ hai, ta dựa vào giả thiết còn lại của bài tốn đó là:Nếu mở vòi
thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy
15
2

(bể)
Như vậy ta có phương trình thế nào?
HS:
15
2
5
1
6
1
=+
yx
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
GV: Ngồi cách chọn ẩn này ra, ta còn cách chọn nào nữa hay khơng?
HS: chọn x, y lần lượt là năng suất của mỗi vòi.
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích tương ứng:
Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV
Cả 2 vòi
4
3
(bể) 1 giờ 20 phút =
3
4
giờ
- 11 -
x
1
+
y
1

1
y =
2
15
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đến đây học sinh dễ nhầm lẫn là lấy kết quả tím được để trả lời bài tốn. Vì thế
giáo viên cần nhắc nhở học sinh đây khơng phải là kết quả cuối cùng mà ta phải trả lời ở
cột thời gian tức là lấy nghịch đảo kết quả tìm được để trả lời.
Lưu ý: Dù chọn ẩn ở cột thời gian hay năng suất thì phương trình lập được bao
giờ cũng dựa vào cột năng suất.
* Ở chương trình đại số lớp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên
có 2 chữ số, đây cũng là loại tốn tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ
lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên
quan:
- Cách viết số trong hệ thập phân:
+Số có 2 chữ số được kí hiệu là:
ab
=10a+b
+Số có 3 chữ số được kí hiệu là:
abc
=100a+10b+c
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện
của các chữ số.
- Quan hệ chia hết và chia có dư:
+ Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đơn vị b là a = b.q (q là thương)
+ Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là q và dư là r
thì: a = b.q + r
Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ
hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.”