Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp Tuyến Ví dụ 1:
Cho hàm số
3 2
3 2 5 ( )
y x x x C
    . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1
y
 
- 4
(1, 5)
M
 

( )
C

0
3
( , ) ( )
1
o
x
M x y C y
x

  

,
'
2 2
0
4 4
( 1) ( 1)
y k
x x
 
  
 
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
0 0 0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 3
4 4 4

x x
y x
x
A
x x
x
y
x
x
x


 
 
 

 
 
 

 


 





Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :







Nhận xét :
0
0
0
0 0
0
1 2 1
2 2
7
à trung diem AB
1
1 3
2 2 1
A B
M
A B
M
x
x x
x x
x
M l
x xy y
y

C
 , biết rằng
1
M
x
 
, tìm m để tiếp tuyến tại M
song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
' 2
y x mx
  
hệ số góc tiếp tuyến tại M
'
( 1) 1
k y m
   
, để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x –
y = 0
1 5 4
k m m
     

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm
0 0
M( , ) ( ): ( )
x y C y f x
 
Cách giải :

(C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo
0
x

Bài giải :
Vi điểm
0 0
( , )
A x y

(C)
3
0 0 0
3 1
y x x
   
,
' 2 ' 2
0 0
3 3 ( ) 3 3
y x y x x
    

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
' 2 3 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( )
y y x x x y y x x x x x y x x x x d
                phương trình


Vậy điểm B có hoành độ
0
2
B
x x
 

Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho
tiếp tuyến song với đường thẳng :
1
y k x m

, các em có thể dùng công
thức sau để tìm k :
'
'
tan
1
k k
kk




( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí
nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x
  
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 2
( )
3 3
y x d
  
http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số

tuyến
Cách 2 :
Gọi
0 0
( , )
M x y
là tiếp điểm , giải phương trình
'
0 0
( )
f x k x x
  
,
0 0
( )
y f x

Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi :
0 0
( )
y k x x y
  

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Bài giải :
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)

tiếp tuyến có dạng : 3

3
2
2, 6
4
2
x x m
x x m
x m
x
x m
x
x

  



  
  
 

  
 



 
  



; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2

tiếp tuyến có dạng y = -3x + m
Điều kiện tiếp xúc
2
2
2
3 3
3 (1)
2
4 3
3 (2)
( 2)
x x
x m
x
x x
x

 
  




 


3
2
x m
    
tiếp tuyến có dạng :
3 3
y x
  

Với
5
11
2
x m
    
tiếp tuyến có dạng :
3 11
y x
  

Ví dụ 3 :
Cho hàm số
3
3 4
y x
 
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
3 6 0
y x
  

dễ dàng tính được
2
k

Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
1 2 2
11 3 11 3
( ): 4 ; ( ): 3 ; ( ): 3
3 3
d y d y x d y x
 
    
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số
3 2
3 9 5 ( )
y x x x C
    . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
TXĐ:
D R


Ta có :



-1


f’(x
0
)
- 0 +
f(x) -12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
0 0 0
min ( ) 12 1 , 16
f x x y
     

Vậy tại điểm có
( 1,16)
M

thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có :
2 2
0 0 0 0
( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,

2
x
y
x



; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm
( 6,5)
A


Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua
( 6,5)
A

có dạng :
( 6) 5
y k x
  

Điều kiện tiếp xúc :
2
2
( 6) 5 (1)
2
4
(2)
( 2)

x
x
x x x
x
x x



       


 


Với x = 0
1
k
  
tiếp tuyến có dạng :
1
y x
  

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009


+


Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước

  




nghiệm
bước 3: giải hệ này ta tìm được k

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
…………………………………………………………………………………………………………… Với x = 6
1
4
k
  
tiếp tuyến có dạng :
1 7
4 2
y x
  

Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)
Cho hàm số :
3 2

    



  

nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được :
3 2 2 3 2
0
1 4 4 8
2 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x




            





Với x = 0
3
k

1
x x
y C
x
 


, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:

2
2 2 1
1
1 1
x x
y x
x x
 
   
 
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận trên
( 1,0)
I
 

Đường thẳng (d) qua I có dạng :
( 1)
y k x



có nghiệm
1
x
 

Thay (2) vào (1) ta được :
2 2
2
2 2 2
( 1) 2 0
1 ( 1)
x x x x
x
x x
  
   
 
(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Một số ví dụ điển hình :

x
  

,
2
2
'
( 1)
y
x



Tiếp tuyến tại M có dạng :
2
0 0
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
2 2
2 2
'( )( ) ( ) ( )
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x
y y x x x y y x x y x d
x x x x
         
   

Gọi

  
 
 






Gọi
( ) oy
B d
 


tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :
2
0
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
0 0
2
2
0
2 2
(0, )
( 1) ( 1)

 
; OB =
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
( 1) ( 1)
x x
x x

 

Diện tích tam giác OAB : S =
1
2
OA.OB
=
2 2
4
0 0 0 0
0 0
4 2
0
0 0
2
2 2
0
0 0 0 0
0 0


Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
1 2
1
( ; 2) ; (1,1)
2
M M 
Vi Dụ 2 : (A2009)

Cho hàm số
2
(1)
2 3
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ . http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Dạng 4 : Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại
H
ọc



Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)
Cho hàm số
3
12 12 ( )
y x x C
   . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến
phân biệt tới đò thị ( C)
Bài giải :
Điểm
M
nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)
Tiếp tuyến qua M có dạng :
( ) 4
y k x m
  

Điều kiện tiếp xúc :
3
2
12 12 ( ) 4 (1)
3 12 (2)
x x k x m
x k

    


 


4
(4 3 ) 8(8 6 ) 0 3 8 16 0
4
(2) 24 12 0 24 12 0
3
2
m
m m m m
m
g m m
m
  



 
       


  

  
    

 







3 2 3 2
0 0 0
2
3 2 ( ) 3 2 (1)
3 6 (2)
x x k x x x x
x x k

       


  


( có nghiệm )
Thế (2) vào (1) ta được :

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

3 2 2 3 2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
0
(2)
2
0 0
0

Lời bàn :
( vì tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm là M nên (1) luôn có nghiệm kép
0
x x

, dùng sơ đồ horney chia ra
ta được phương trình (2) thôi )

Ví dụ 6 :
Cho hàm số :
3
3 ( )
y x x C
  . tìm trên đường thẳng : x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến với đồ thị hàm (C )
Bài giải :
Điểm
M

đường thẳng x = 2
(2, )
M a


Tiếp tuyến qua M có dạng :
( 2)
y k x a
  

Điều kiện tiếp xúc :

0
'( ) 0 6 12 0
2
x
f x x
x


     




Bảng biến thiên:
x


0 2



y’ - 0 + 0 -
y
2

-6
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt . dựa vào
bảng biến thiên ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt
6 2
a

Nha Trang 8/2009


 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a

Điều kiện tiếp xúc :
2
2
(1)
1
3
(2)
( 1)
x
kx a
x
k
x


 




2
(1) 3 0
a a a a
a
a
a
g

       



   


 


  


(**)
Giả sử hai tiếp điểm lần lượt là :
1 1 2 2
( , ) ; ( , )
A x y B x y
là tọa độ hai tiếp điểm thì
1 2
,
x x












Để A, B nằm về 2 phía trục ox thì y
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( 2) ( 2) 2( ) 4
0 . 0 0
( 1) ( 1) ( ) 1
x x x x x x
y y
x x x x x x
    
    
    

2 2( 2)
2. 4
2
1 1
0 3 2 0

sao cho
1 2
0
x x
 

Ví dụ 9 :
Cho hàm số :
3 2
3 2 ( )
y x x C
   . tìm trên đường thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ
thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ?
Hướng dẫn giải :
Diểm
M

đường thẳng : y = -2
( , 2)
M m
 

Sau đó các em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa ra được phương trình
sau :

2
2
2
( 2) 2 (3 1) 2 0
( ) 2 (3 1) 2 0

Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Ta đã biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ
thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp
tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau
Nhận xét: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm sao cho hoặc
. Đẳng thức xảy ra khi
Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức
Bài toán 1: Cho và . Cmr :

Lời giải:
*Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt cần chứng minh có dạng :

Trong đó với .Nên ta đánh giá f(x) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
Ta có:
đpcm
Chú ý: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thì ta luôn phân tích được

Bài toán 2 :Cho và . Cmr :

Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt đã cho có dạng
trong đó với Nha Trang 8/2009

Bài toán 4:Cho .
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
( ) ( ) ( ) 5
a b c b a c c b a
a b c b a c c b a
  
  
     
Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
(Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006)
Lời giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử
Khi đó bđt đã cho trở thành:
Hay
với với 0<x<1
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:

Ta có:
Vậy đpcm
Bài tập về tiếp tuyến Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị
bài 1: cho hàm số
2
2 10

0 0 0
( , ) ( )
M x y C
 . tiếp tuyến của
( )
C
tại
0
M
cắt các ti
ệm cận của (C)
tại A và B . chứng minh rằng
0
M
là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào v
ị trí của
điểm
0
M
. (Dự Bị D 2006)
bài 4: cho hàm số
2 1
1
x
y
x



(C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận . tìm điểm

C
tại hai điêm A, B sao cho tam giác
OAB
vuông tại O ( Khối A 2009)
Bài 6: cho hàm số
3 2
2 3 5
y x x
  
viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua
19
( ,4)
12
A ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001)
Bài 7: cho hàm số
2
2
x
y
x




( )
C
. viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua
điểm A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995)
Bài 8 : cho hàm số y =
1

A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm s
(ĐH Ngoại Ngữ 1998)
Bài 11 : cho hàm số
2
2 2
( 1)
x x
y
x
 


. chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được ti
ếp
tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)
Bài 12: cho hàm số
2
3 3
( )
2
x x
y C
x
 


. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng (d) :
3 6 0
y x

, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho ti
ếp tuyến tại
M vuông góc với đường thẳng
IM
( Dự bị B2003)
Bài 16: cho hàm số :
3
1 2
( )
3 3
y x x C
   tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ đư
ợc tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
1 2
3 3
y x
  
(ĐH Ngoại Ngữ 2001)
Bài 17: cho hàm số
1
( )
1
x
y C
x



. Tìm m để đường thẳng ( ): 2

x
y C
x


, Viết phương trình tiếp tuyến
( )
d
của đồ thị cắt hai đư
ờng tiệm cận tại A,B sao
cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị)
http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Bài 20: cho hàm số
3
12 12 ( )y x x C   tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân
biệt tới đồ thị ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998)

Bài 21: cho hàm số
3 2
3 2 ( )y x x C    Tìm trên ( )C những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất m
ột tiếp tuyến với
đồ thị hàm số ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999)

Nha Trang 8/2009