Học
Học - Nữa
Học - Mãi
GIO N BI DNG HC SINH GII I S 9
Trung Văn Đức - THCS Lai Thành - Kim Sơn - Ninh Bình
Chủ đề 1
<t1>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?
- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?
III. Bài mới
A Lí thuyết
1) Định nghĩa bất đẳng thức.
a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0.

+ Tính chất 1: a > b

b < a.
+ Tính chất 2: a > b và b > c

a > c
+ Tính chất 3: a > b

a + c > b + c
+ Tính chất 4: a > b, c > d

a + c > b + d
a > b, c < d

a - c > b - d
1
+ Tính chất 5: a> b, c > 0

ac > bc ; a> b, <0

ac < bc
+ Tính chất 6: a > b

0, c > d

0

ac > bd
+ Tính chất 7: a > b > 0


+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba ++
Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
Phơng pháp chứng minh A > B :
- Bớc 1: Xét hiệu A B
- Bớc 2: Chứng minh A B > 0
- Lu ý : A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .


=
ữ Vậy:
2
a b
ab
2
+


ữ

dấu = xảy ra khi a = b.
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
= a
2
x
2
+ a

a b
x y
=
*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b c d e ) a(b c d e)+ + + + + + +

=
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e
4 4 4 4

+ + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

=
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2

+ + +

+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2


0 với mọi x
(y - 1)
2


0 với mọi y
(z - 1)
2

+ y
4
( xy
3
+ x
3
y ) = ( x
4
xy
3
) + ( y
4
x
3
y )
= x( x
3
y
3
) + y( y
3
x
3
) = ( x y )( x
3
y
3
)
= ( x y )
2


9 (1)
Bài làm :
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab 1

4 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2


4 ab ( a b )
2


0 (2)


+ baba
=
4
)2()(2
2222
bababa +++
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
*******************************
Học
Học - Nữa
Học - Mãi
Trung Văn Đức - THCS Lai Thành - Kim Sơn - Ninh Bình
Chủ đề 1
<t2>
A/Mục tiêu
Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận

y
2
)
2


0 (với mọi x, y)


x
4
+ y
4


2x
2
y
2


x
4
+ y
4
+ x
4
+ y
4




x
2
+ y
2


2xy


2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
x
2
+ y
2


2 (2) (vì x + y = 2)
dấu = xảy ra khi x = y.


+ +
ữ2
2
1 1
c 0 c c
2 4

+ +
ữ

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc:

2 2 2
1 1 1
a b c a b c
4 4 4
+ + + + +

2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +
dấu = xảy ra khi a = b = c =
1
2

Do 0 < a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2
< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b
3
< 1 + a
2
b .
Tơng tự : b

, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau :
+)
( )
2
2 2
a b a b
2 2
+ +

+)
( )
2
a b 4ab
+
+)
( )
2
a b
ab
2
+

+)
( )
2
1 1
(a,b 0)
4ab
a b
>

*) Bài tập 7 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1.
Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1)

8
*) Bài tập 8 : Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (x + y + z)
2


3(xy + yz + xz)
b) c
2
c 1
2
+

*) Bài tập 9 : Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2.
Chứng minh rằng a
4
+ b
4


a
3
+ b
3
.
*) Bài tập 10 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh:
a) x

Kiến thức
- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến
đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki
hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 10 câu a
- HS2: Giải bài tập 10 câu b
- HS2: Giải bài tập 9
III. Bài mới
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
- Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một
phép biến đổi tơng đơng .
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức
kia cũng đúng .
Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B


4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2


4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
*) Bài tập 2 :
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2

3

*) Bài tập 3 :
Chứng minh bất đẳng thức :

3
33
22






+

+ baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22













+ ba
a
2
- ab + b
2



2
2






+ ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a


+ baba
Dấu = xảy ra a = b
*) Bài tập 4 :
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1

2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0
<=> ( 2a - 1 )
2


0
8
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
*) Bài tập 5 :

[ ]
0)()()(
33
++ baabba

0)())(( +++ baabbababa

0)2)(( ++ bababa

2
( a b )( a b ) 0+

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a




a
b
b
*) Bài tập 6 :
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b .
4. Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2


2xy
Với a, b > 0 ,
2+
a
b
b
a
*) Bài tập 7 :
Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b

ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số
dơng ).
Từ đó suy ra :
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
*) Bài tập 8 :
Cho x , y là 2 số thực dơng thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22

+ 1 - x
2
)
=> x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)
2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25
=> 3x + 4y

5
Đẳng thức xảy ra
2 2

Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba
b,
5,3111 <+++++ cba
Giải
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )






++++++++++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
=>
(
)
2
a b b c c a 3.(2a 2b 2c) 6+ + + + + + + =
=>
6+++++ accbba
.
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
*) Bài tập 10 :
Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng :
9
111
++
cba
Giải :
Theo cô - si ta có :
a b
2
b a
+
với a , b > 0
Ta có :
=++
cba
111
)
111
(
cba
++
.1 =

a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
cba
Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
*) Bài tập 11:
Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +
+
411

Giải
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2+
, chia cả hai vế cho xy > 0

yx
11
+




Cho a, b > 0 ; c > 0; Chứng minh rằng:
A =
a + b
+
a + c
+
b + c
6
c b a
Hớng dẫn:
A =
a
+
b
+
b
+
c
+
a
+
c
c c a a b b
11
A = (
a
+
c
) + (
b

2
+
(b + c)
2
4(a + b + c)
c b a
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
( ) ( )
2 2
a b a b
4c 2. .4c 4(a b)
c c
+ +
+ = +
Tơng tự:
(a + c)
2
+ 4b 4 (a + c)
b
(b + c)
2
+ 4a 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
*) Bài tập 14:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
+

dấu "=" b = c + a
b (c + a ) a + b + c
b + c

2(b + c)
dấu "=" a = b + c
a (b + c ) a + b + c
cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì khi đó
a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c > 0)
*) Bài tập 15:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
D =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
3 2
c b a
Hớng dẫn: Ta có:
D
2
=
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c b a

b + ac
+
c + ab
)
bc ac ab
D
2
6 + 2 + 2 +2 + 2(
a
+
b
+
c
)
bc ac ab
mà
a
+
b
+
c
3
bc ac ab
(theo cô - si)
D
2
12 + 2 . 3 D
2
18 D 3 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c

x y x y
+
+
. Dấu = xảy ra

x = y
III. Bài mới
5. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác
a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

a < b + c (1)
b < a + c (2)
c < a + b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng thức về
hiệu hai cạnh
a < b + c (1)
a b c <
(4)
b < a + c (2)
b c a <
(5)
c < a + b (3)
c a b <
(6)
*) Bài tập 1:
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của

)
Chứng minh rằng :


4
)()(
411
=
+


+

Tơng tự :
acpbp
411


+


bcpap
411


+

=>
)
111
(4)
111
(2
cbacpcpap



(a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b)
2 2 2
a b c

(a + b - c)
2
(b + c - a)
2
(c + a - b)
2
2 2 2
a b c

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

abc
Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên
a + b - c >0
b + c - a >0
c + a - b >0 và abc > 0
Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh
*) Bài tập 3:
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC
2
Giải:

2
ACAB +
(điều phải chứng minh).
16
D
A
B C
M
M
C
B
A
*) Bài tập 5:
Cho điểm I nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC
Giải:
Kéo dài BI cắt AC tại K.
Xét

AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)
BI + IK < AB + AK BI < AB + AK - IK (1)
Xét

KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)
IC < IK + (AC AK) (2)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:
BI + IC < AB + AK IK + IK + AC AK
BI + IC < AB + AC (đpcm)

*)Nhằm khắc sâu hơn về bất đẳng thức tam giác trong quá trình bồi dỡng tôi đã cho

Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)
Suy ra MH < MK. (Điều phải chứng minh)
*) Bài tập 7:
Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC ( D

BC).M là điểm
nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh: MB MC < AB AC.
Giải:
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC
vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra
AE + EB = AB
EB = AB AE = AB AC
xét

AEM và

ACM có:
AE = AC (cách vẽ)

ã ã
=EAM CAM
(AD là tia phân giác của Â)
AM là cạnh chung
Do đó

AEM =

ACM (c.g.c)
Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng) .
Xét

B
D
Chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a + b - c > 0 => c(a + b - c) > 0 (1)
b + c - a > 0 => a(b +c - a) > 0 (2)
a + c - b > 0 => b(a + c - b) > 0 (3)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc:
c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) > 0
=> ac + bc - c
2
+ ab + ac - a
2
+ ab + bc - b
2
> 0
=> 2(ab + bc + ca) - (a
2
+ b
2
+ c
2


Vì x, y, z > 0 =>
2
acb +
> 0 ;
2
bca +
> 0 ;
2
cba +
> 0
=> a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
*) Bài tập 10:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2.
Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1
Giải:
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Suy ra : a + b > c
b + c > a
a + c > b
mà a + b + c = 2
suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
(ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0
abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc vì a + b + c = 2
=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Nếu không làm hết các bài tập trên lớp thì GV có thể hớng dẫn để HS
về nhà làm

6. Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra
điều vô lý .
- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái ngợc nhau , từ đó
suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
*) Bài tập 1:
Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai :
2a(1 - b) > 1
19
3b(1 - c) > 2
8c(1 - d) > 1
32d(1 - a) > 3
Giải:
Giả sử ngợc lại cả bốn bất đẳng thức đều đúng . Nhân từng về, ta có :
2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
=>
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
a(1 a) b(1 b) c(1 c) d(1 d)
256
>
(1)
Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :

[ ] [ ] [ ] [ ]
1
a(1 a) b(1 b) c(1 c) d(1 d)
256

(2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
*) Bài tập 2:
Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau :
2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Giải


6)
1
()
1
()
1
( <+++++
c
c
b
b
a
a
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có :
1
a 2
a
+
;
1
b 2
b
+
;
1
c 2
c
+

= 2 )
=> ab(a + b) > 2
=> ab(a + b) > a
3
+ b
3
( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
Chia cả hai vế cho số dơng a + b ta đợc :
ab > a
2
- ab + b
2
=> 0 > (a - b)
2
Vô lý
Vậy : a + b

2
7. Phơng pháp 6 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng
đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải
*) Bài tập 1:
Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

2
3

b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
+
+
+
+
+
=
2
3
2
3
111
2
3
)(

1
2
1
222

+
+
+
+
+ abccabbca
Giải :
Đặt : a
2
+ 2bc = x ; b
2
+ 2ca = y ; c
2
+ 2ab = z
Khi đó : x + y + z = a
2
+ 2bc + b
2
+ 2ca + c
2
+ 2ab
= (a + b + c)
2


1

8. Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên
*) Bài tập : Cho a > b > 0 CMR:

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
>
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
Giải :
Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau:
Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
(1)
Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh
(1)


b b b b
< <
+ +
+ +
1 1
1 1
m n
m n
a a
b b
<
+ +
1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +
( ) ( )
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
> >
(2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > 0 nên
1
a
b

0
bằng phơng pháp
quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n
0
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k

n
0
)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
22
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n

n
0
*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n

3 thì
2
n
> 2n + 1 (*)
Giải :
+ Với n = 3 , ta có : 2
n
= 2
3
= 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng
với n = 3 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k

n
> 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n

3 .
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng :

2
1
.
4
3
.
6
5

n
n
2
12


13
1
+n
(*) (n là số nguyên dơng )
Giải :
+ Với n = 1 , ta có : VT = VP =
2
1
. Vậy (*) đúng với n = 1 .

3
.
6
5

k
k
2
12
.

+
+
)1(2
12
k
k

1)1(3
1
++k
Ta có:
2
1
.
4
3
.
6
5

)1(2
12
+
+
k
k



1)1(3
1
++k
(**) (t/c bắc cầu)
Dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có :
(2k + 1)
2
(3k + 4)

(3k + 1)4(k +1)
2

12k
3
+ 28k
2
+ 19k + 4

12k
3
+ 28k

- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
III. Bài mới
I - Các phơng pháp
Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1
x y 2
+ =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A =
x y+
.
H ớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên
1 1
0; 0; x 0; y 0
x y
> > > >
Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
1 1
;
x y
tìm đợc

x = 2
24
Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với
cùng một số khác 0
*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 9
A
5x

=
H ớng dẫn: ĐKXĐ:
x 9
( )
x 9
x 9
1
.3
3
x 9 3
2 3
1
A
5x 5x 5x 30


+

= = =
Dấu = xảy ra


Vậy Min A = 8

x = 2
2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của
một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một
hằng số)
*) Bài tập 5: Cho
9x
2
0 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 x x
< < +

H ớng dẫn:
9x 9x 9x
2 2 x 2 x
A = 1 2. . 1 7
2 x x 2 x x 2 x x

+ = + + + =

Dấu = xảy ra

x =
1
2
Vậy Min A = 7

x =


Tơng tự :
2
y
z x
+ y
z x 4
+

+
và
2
x y
z
+ z
x y 4
+

+
Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc
P 1

Dấu = xảy ra

x = y = z =
2
3
25