ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ THỊ THANH HẢI

XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN
TRONG MIỀN HAI CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán Giải Tích.
Mã số : 1.01.01.

TP.HỒ CHÍ MINH 12/2006 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH


LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP. HỒ CHÍ MINH. Người hướng dẫn :
TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán – Tin Học
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.
Người nhận xét 1 :
Người nhận xét 2 :

Học viên cao học :

Lê Thị Thanh Hải

Bộ môn Toán, khoa Khoa Học Cơ Bản
Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh.

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tại Trường Đại học Khoa Học Tự
Nhiên Tp. Hồ Chí Minh vào lúc giờ phút, ngày tháng năm 2006.

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Đại học Khoa Học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.
Lê Thị Thanh Hải

MỤC LỤC
Trang
Bìa phụ
Lời cảm ơn
Mục lục
Chương 1 : Tổng quan 1
Chương 2 : Các ký hiệu và các công cụ cơ bản 5
Chương 3 : Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 7
Chương 4 : Thuật giải hội tụ cấp hai 14
Chương 5 : Khai triển tiệm cận nghiệm 22
Chương 6 : Thuật giải lặp trên hệ phương trình hàm cụ thể 32
Chương 7 : Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm cụ thể 43
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 55

: miền compắc hoặc không compắc của
2
R,

,
ijk
a

ijk
b
: các hằng số thực,

,: ,: ,:
ijk ijk i
R
SRRgR
φ
Ω→Ω → Ω→ : các hàm liên tục cho trước,

:
i
f
RΩ→ : các ẩn hàm.
Trong [11], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của hệ (1.1) cụ thể với
[
]
2, 0, , , ( )
ijk
mn bb S x

)
,,,()
ijk ijk ijk ijk
axy y RSx
αα
=∈ là nhị
thức bậc nhất,
()
;
rn
gC R∈Ω và
[
]
,,bbΩ= − trong [3] cũng đã thu được một khai triển
Maclaurin nghiệm của hệ (1.2) đến cấp
.r Hơn nữa, nếu
i
g là các đa thức bậc không
2
quá ,r thì nghiệm của hệ (1.2) cũng vậy. Sau đó, nếu
i
g là các hàm liên tục thì nghiệm
f
của (1.2) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều. Phần cuối, các tác giả đã
khảo sát một thuật toán số dựa vào thuật giải xấp xỉ theo nguyên tắc ánh xạ co trên hệ
phương trình hàm cụ thể.
Tất cả các kết quả thu được trong [3] đã được các tác giả Long, Nghĩa [4] mở
rộng trong trường hợp nhiều chiều với
i
Ω

∫
(1.3)
Nếu
,
ijk ijk
SX là các nhị thức bậc nhất, (; )
rn
gC R∈Ω và
[
]
,bbΩ= − thì chúng ta thu
được một khai triển Maclaurin của nghiệm hệ (1.3) đến cấp
.r Tuy nhiên, chỉ khi
0, , ,
ijk
ijk
α
=∀
thì với
i
g là các đa thức bậc không quá
r
ta mới có được nghiệm của
(1.3) cũng là các đa thức bậc không quá
.r
Một trường hợp riêng của hệ (1.1) được khảo sát bởi Long, Diễm [7] và Vân
[10] với
2
() , .
ijk ijk

mn
N
ijk
jn
ki
CRR b
φ
≤≤
==
∈
<
∑∑
ta có được một
khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) theo tham số bé
ε
đến cấp 1N + với
ε
đủ nhỏ.
Đồng thời, các kết quả này đã được tác giả Long [6] nới rộng ra miền nhiều chiều
.
p
R
Ω⊂
Trong [2], [8] các tác giả Khôi, Nghĩa cũng đã khảo sát một số hệ phương trình
hàm cụ thể để kiểm tra thuật toán số dựa trên thuật giải xấp xỉ liên tiếp theo nguyên tắc
ánh xạ co kết hợp xấp xỉ bởi các hàm Spline bậc nhất.
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề trên
dạng hệ phương trình hàm (1.1) bao gồm 7 chương, phần kết luận và cuố
i cùng là phần
tài liệu tham khảo.

1, 2, 1,1 , ( ) , ( ) ( ) .
ijk ijk ijk
mn yyRxSx x
φα
==Ω=− = = = Ở đó, chúng tôi
sẽ khảo sát thuật giải xấp xỉ liên tiếp theo nguyên tắc ánh xạ co kết hợp xấp xỉ với các
hàm Spline bậc nhất và một thuật giải hội tụ cấp hai. Cuối chương sẽ có kết quả minh
hoạ bằng số và bảng so sánh hai thuật giải trên để thấy được tính hiệu quả về mặt tốc
độ của thuật giải hội tụ
cấp hai so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp.
4
- Chương 7 là phần khảo sát các thành phần trong khai triển tiệm cận nghiệm
đến cấp hai của hệ dạng (1.1) ứng với
(
)
2
12
1, 2, ( ) , ( ) ( ) , ,
ijk ijk ijk ijk
mn yyRxSx xx
φαα
== = = =
{
}
2
12 1 2
1
(, ) : 1.xxx Rx x xΩ= = ∈ = + ≤
Đồng thời, cuối chương cũng có kết quả minh hoạ bằng số kèm theo.
- Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được cùng với một số ý kiến nhận

5
Chương 2
CÁC CÔNG CỤ CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các ký hiệu, các không gian hàm và các công
cụ cơ bản sẽ được sử dụng trong các chương sau.
2.1 Các ký hiệu.
Nếu
Ω là tập con compắc của
2
R
thì ký hiệu (; )
n
X
CR=Ω là không gian
Banach của các hàm số
()
1
, , :
n
n
f
ff R=Ω→ liên tục trên
Ω
với chuẩn
1
sup ( ).

2
R
Ω
⊂ là mở thì (; )
n
f
CR∈Ω chưa chắc bị chận. Tuy
nhiên, nếu
(; )
n
f
CR∈Ω bị chặn và liên tục đều trên
Ω
thì nó có một mở rộng duy nhất,
bị chặn, liên tục trên
Ω . Khi đó, (; ) { (; ):
nn
CR fCRfΩ=∈Ω liên tục đều và bị chặn trên
Ω } là không gian Banach với chuẩn (2.1).
Một điểm trong
2
R
được ký hiệu bởi
12
(, ).
x
xx
=
Ta gọi
2

12
12
12
12
DDD
x
x
α
αα
α
α
α
∂
==
∂∂
ký hiệu toán tử vi
phân cấp
.
α
Ta cũng ký hiệu
12
!!!.
α
αα
=

Cho 2 đa chỉ số
2
12 12
(, ), (, ) .


Với số nguyên không âm
m , ta đặt
{
}
1
( ; ) ( , ) ( ; ) : ( ; ), , 1,2, ,
mn n n
ni
CR fffCRDfCR mi n
α
α
Ω== ∈Ω ∈Ω ≤ =
nếu
Ω
là miền compắc của
2
.
R
Trường hợp
Ω
là tập mở của
2
,
R
ta đặt
6
{
}
1

X
là không gian Banach với chuẩn ., KX⊂ là tập đóng. Cho
:TK K→ là ánh xạ sao cho tồn tại số thực ,0 1
σ
σ
≤
< thoả mãn
,, .Tf Tg f g f g K
σ
−≤ − ∀∈ (2.3)
Khi đó, ta có
(i) Tồn tại duy nhất
f
K
∈
sao cho ,Tf f
=

(ii) Với mỗi
(0)
f
K∈ , xét dãy
{
}
()
f
μ
cho bởi
() ( 1)
, 1,2, fTf

ff ff
μμμ
σ
μ
σ
−
−≤ − =
−

Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong nhiều quyển sách về nhập môn giải tích.
7
Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này, nhờ vào định lý 2.1, chúng ta chứng minh được sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của hệ (1.1). Trước hết, ta viết lại hệ (1.1) dưới dạng phương trình toán tử
trong không gian Banach
(; )

Bf Bf Bf=

11
()() (( ())),
mn
i ijk j ijk
kj
Af x a f R x
φ
==
=
∑∑11
()() (()),
mn
i ijk j ijk
kj
B
fx bfSx
==
=
∑∑
với 1,2 , .inx
=
∈Ω
Đặt
1
11

1
() .
1
X
ijk
IB
b
−
−≤
⎡
⎤
−
⎣
⎦

Chứng minh
Trước hết, ta chứng minh
,.
ijk
XX
B
fbffX
⎡⎤
≤
∀∈
⎣⎦

Thật vậy,
f
X∀∈


111
sup ( ( ))
nmn
ijk j ijk
x
ik j
bfSx
∈Ω
===
≤
∑∑∑1
11 1
max sup ( ) .
nm n
ijk j ijk
X
jn
x
ik j
bfxbf
≤≤
∈Ω
== =
⎡⎤
≤=
⎣⎦

~
(),
f
IBf=− hay nói cách khác,
~
,
f
X∀∈ phương trình
~
f
Bf f
=
+ luôn có nghiệm
duy nhất. Thật vậy, xét ánh xạ

~
:
.
XX
f
fBff
δ
δ
→
→=+

Hiển nhiên
f
X∀∈ ta có
~

=
=−
∑()
12
111
sup ( ( )) ( ( ))
jj
nmn
ijk ijk ijk
x
ikj
bfSx fSx
∈Ω
===
=−
∑∑∑12
111
sup ( ()) ( ())
jj
nmn
ijk ijk ijk
x
ik j
bfSx fSx

⎡⎤
<
⎣⎦
ta có :
X
X
δ
→ là ánh xạ co. Áp dụng định lý điểm bất động Banach,
suy ra tồn tại duy nhất
f
X∈ sao cho
~
.
f
fBff
δ
=
=+
Ngoài ra

~~
.
XXX
XX
f
Bf f B f f=+ ≤ +
9
Do đó

~

B
−
=− ≤
−

Vậy
1
~
11
() .
1
1
X
X
Xijk
X
f
IB
B
b
f
−
−=≤ ≤
−
⎡
⎤
−
⎣
⎦



[
]
11
0, ()0: () () () , , , ,
M
CM y z CM y z yz MM
φφ
∀> ∃ > − ≤ − ∀ ∈−
(
)
()
50
1
1
2
(): ,0 .
12()(0)
ijk
X
ijk ijk
Mb
g
HM
bMCMna
ε
φ
⎡⎤
−
⎣⎦

⎣⎦~~~
1
() ( ) , , .
ijk M
XX
ii Af A f C M a f f f f K
⎡⎤
−≤ − ∀∈
⎣⎦10
Chứng minh
()i
,
M
f
K∀∈ ta có
1111
sup ( ) ( ) sup ( ( ( )))
nnmn
i ijk j ijk
X
xx
iikj
Af Af x a f R x
φ

== =
≤−+
∑∑ ∑
1
11
sup ( ) ( ) (0)
nn
ijk j
x
jj
aCMfx
φ
∈Ω
==
⎛⎞
⎡⎤
≤+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∑∑
(
)
1
() (0).
ijk
X
aCMfn
φ
⎡⎤

ikj
afRx fRx
φφ
∈Ω
===
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑~
111
sup ( ( ( ))) ( ( ( )))
nmn
ijk j ijk ijk
j
x
ik j
afRx fRx
φφ
∈Ω
===
≤−
∑∑∑~
1

()().HH
−
Khi đó, với mỗi ,
ε

0
,
ε
ε
< hệ (3.2) có
nghiệm duy nhất
.
M
f
K
ε
∈
Chứng minh
Trước tiên, ta chứng minh
,.
M
M
Tf K f K
∈
∀∈ . Thật vậy, dễ thấy rằng
:.TX X→

Với
,
M

−
⎣⎦

()
()
01
1
() (0) .
1
ijk
X
ijk
aMCMn g
b
εφ
⎡⎤
≤++
⎣⎦
⎡⎤
−
⎣⎦
(3.3)
Từ giả thiết
5
(),H ta có

()
1
2
ijk

Thay vào (3.3) ta được
(
)
()
()
1
1
1
1
() (0)
12 ()(0)
ijk
ijk
X
ijk ijk
Mb
Tf a MC M n
baMCMn
φ
φ
⎛
⎡⎤
−
⎣⎦
⎜
⎡⎤
≤+
⎣⎦
⎜
⎡⎤ ⎡⎤

Mb
M
b
⎡⎤
−
⎣⎦
≤=
⎡⎤
−
⎣⎦
(3.4)
Vậy
.
M
Tf K∈
Mặt khác,
~
,
M
f
fK∀∈ ta có

~~ ~
11
0
() () .
X
X X
X
TfTf IB Af Af IB Af Af

⎣⎦

với
01
()
.
1
ijk
ijk
aCM
b
ε
σ
⎡⎤
⎣⎦
=
⎡⎤
−
⎣⎦
(3.5)
12
Từ giả thiết
5
(),H ta có
()
()
(
)
0
11

=<
⎡⎤
−
⎣⎦
(3.6)
Từ (3.4), (3.5), (3.6) ta thấy
:
M
M
TK K→ là ánh xạ co. Áp dụng định lý điểm bất động
Banach, suy ra tồn tại duy nhất
M
f
K
ε
∈
sao cho .
f
Tf
ε
ε
=

Vậy định lý 3.1 được chứng minh hoàn tất.
Chú thích 3.1. Định lý 3.1 sinh ra một thuật toán xấp xỉ nghiệm của hệ (3.2)
() ( 1)
, 1,2,3 ,fTf
μμ
μ
−

−≤ −
−
(3.9)
với
01
()
1.
1
ijk
ijk
aCM
b
ε
σ
⎡⎤
⎣⎦
=<
⎡⎤
−
⎣⎦

Chú thích 3.2. Từ thuật giải xấp xỉ trên, ta có
() ( 1) ()
, 1,2, fAfBfg
μμμ
εμ
−
=++=.
Đặt
()

≤− +−

() ( 1) ()
X
XX
B
ff ff
μμ μ
ε
−
≤−+−

13

1 (0) (0) (0) (0)
1
XX
Tf f Tf f
μ
μ
σ
σ
σ
−
≤−+ −
−

1
(0) (0)
.

εμ
−−
=++ = (3.10)
(0)
M
f
K∈
cho trước bất kỳ, (3.11)
với sai số
1
() (0) (0)
,
1
XX
ff Tff
μ
μ
ε
σ
σ
−
−≤ −
−
(3.12)
và
01
()
1.
1
ijk


14
Chương 4
THUẬT GIẢI HỘI TỤ CẤP HAI

Trong chú thích 3.1 và 3.2, chúng ta có được thuật giải xấp xỉ liên tiếp theo nguyên tắc
ánh xạ co nghiệm của hệ (3.2) (cũng như (1.1)) là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong
phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một thuật giải hội tụ cấp hai xấp xỉ nghiệm của hệ
(3.2) với một số điều kiện phụ sẽ đặt sau.
Xét hệ phương trình hàm (1.1)
11 11
() ( ( ())) ( ()) (),
mn mn
i ijk j ijk ijk j ijk i
kj kj
f
xafRxbfSxgx
εφ
== ==
=++
∑∑ ∑∑
(1.1)
2
, 1,2 .
x
Ri n∀∈Ω⊂ =
Giả sử
1
(;),CRR
φ

'( ( ())) ( ()) ( ()),
mn
ijk j ijk j ijk j ijk
kj
af RxfRxf Rx
μμμ
εφ
−−
==
+−
∑∑
(4.1)
với
2
, 1,2 , 1,2 ,xRin
μ
∈Ω⊂ = =
(0) (0) (0)
1
( , )
nM
f
ff K=∈
cho trước.
Hệ (4.1) được viết lại
() () () () ()
11 11
() () ( ()) ( ()) (),
mn mn
i ijk j ijk ijk j ijk i

==
=+ −
∑∑
(4.4)

15
Định lý 4.1. Giả sử ta có các giả thiết
13
()()HH
−
và
1
(;).CRR
φ
∈ Nếu
(1)
f
X
μ
−
∈
thỏa
điều kiện
()
1
11
max sup ( ) 1.
mn
ijk ijk
jn

Tf
μ
μ
μ
=
(4.6)
trong đó
() ()
11 11
( )() () ( ()) ( ()) (),
mn mn
i ijk j ijk ijk j ijk i
kj kj
Tf x xf R x b f S x g x
μμ
μ
α
== ==
=++
∑∑ ∑∑
(4.7)
2
1
, 1,2, , 1,2, , ( , ) .
n
x
Ri n f ff X
μ
∈Ω⊂ = = = ∈
Dễ thấy

()
111
sup ( ()) ( ())
nmn
ijk j ijk ijk
j
x
ikj
f
Rx fRx
μ
α
∈Ω
===
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑

~
11
(()) (())
mn
ijk j ijk ijk
j
kj
bfSx fSx
==
⎛⎞

nm n
ijk j
j
jn
x
ik j
bfxfx
≤≤
∈Ω
== =
+−
∑∑ ∑~
()
1
11 1
max sup sup ( ) ( ) .
nm n
ijk ijk j
j
jn
xx
ik j
bfxfx
μ
α
≤≤
∈Ω ∈Ω

Chúng ta xây dựng thêm các giả thiết sau:
2
6
(): (;),HCRR
φ
∈
()
(
)
71
(): 3 (0) 1 ,
ijk ijk
X
Hg aMMn Mb
εφ
⎡⎤ ⎡⎤
++≤−
⎣⎦ ⎣⎦

trong đó
1
sup '( ) .
yM
M
y
φ
≤
=
Định lý 4.2. Với các giả thiết
1367

f
K∈ thì dãy
{
}
()
f
μ
là dãy lặp cấp hai. Cụ thể là
2
() ( 1)
, 1,2, ,
M
XX
ff f f
μμ
βμ
−
−≤ − ∀= (4.9)
trong đó
2
2
1
2
0, sup ''( ) .
1
ijk
M
yM
ijk ijk
Ma

}
()
f
μ
hội tụ cấp hai về nghiệm
f
và thoả đánh giá
()
2
() (0)
1
, 1,2,
M
XX
M
ff ff
μ
μ
βμ
β
−≤ − ∀= . (4.11)
Chứng minh.
()i
Chúng ta sẽ chứng minh phần này bằng quy nạp như sau
Giả sử
(1)
.
X
f
M

fRx bfSxgx
μμ μ μ
α
∈Ω
=== ==
=++
∑∑∑ ∑∑() () ()
11
11 11 1 1
max sup ( ) max sup ( ) sup ( )
nm mn n n
ijk ijk j i
jn jn
xxx
ik kj i i
x
bfxgx
μμμ
α
≤≤ ≤≤
∈Ω ∈Ω ∈Ω
== == = =
⎛⎞
≤+ +
⎜⎟
⎝⎠
∑∑ ∑∑ ∑ ∑

fg
μμ
μ
α
≤+
trong đó
()
1
11
max sup ( )
mn
ijk ijk
jn
x
kj
xb
μ
μ
αα
≤≤
∈Ω
==
⎡
⎤
=+
⎣
⎦
∑∑

(1)

ki j
afRxb
μ
εφ
−
≤≤
∈Ω
== =
⎡
⎤
≤+
⎣
⎦
∑∑ ∑

sup '( )
ijk ijk
yM
ayb
εφ
≤
⎡⎤ ⎡⎤
≤+
⎣⎦ ⎣⎦

1
1.
ijk ijk
Ma b
ε

x
ki j
gg a fxfxfx
μμμμ
εφφ
−−−
≤≤
∈Ω
== =
≤+ −
∑∑ ∑(1) (1) (1)
1
sup ( ()) (0) (0) '( ()) ()
n
ijk j j j
X
x
j
g a fx fxfx
μμμ
εφφφφ
−−−
∈Ω
=
⎛⎞
⎡⎤
≤+ −+−

(0) sup '( () ()
nn
jj
x
jj
f
xf x
μμ
φφ
−−
∈Ω
==
⎞
++
⎟
⎠
∑∑(1)
1
2 sup '( ) sup ( ) (0)
n
ijk j
X
yM x
j
ga yfxn
μ
εφ φ

.
1
ijk
X
X
ijk ijk
gaMMn
f
bMa
μ
εφ
ε
⎡⎤
++
⎣⎦
≤
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎣⎦ ⎣⎦
(4.16)
Mặt khác từ giả thiết
7
(),H ta có
()
(
)
11
2(0) 1
ijk ijk ijk
X

Mb Ma
f
M
bMa
μ
ε
ε
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎣⎦ ⎣⎦
≤=
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎣⎦ ⎣⎦
(4.17)
Suy ra
()
M
f
K
μ
∈ và (4.8) được chứng minh.
()ii Đặt
() ()
.eff
μ
μ
=− Từ các hệ (1.1) và (4.1), ta có
() ()
() () ()

==
−−
∑∑
(4.18)
Sử dụng khai triển Taylor hàm
()
j
f
φ
quanh điểm
(1)
j
f
μ
−
đến cấp 2, ta có
()
2
(1) (1) (1) () (1)
1
( ( )) ( ( )) '( ( )) ( ) ''( ( )) ( ) ,
2
jj jj jj
fy fy fyey yey
μμμ μμ
φφ φ φλ
−−− −
−= + (4.19)
trong đó
() ( 1) ( 1)

mn
ijk j ijk j ijk
kj
aRxeRx
μμ
ε
φλ
−
==
+
∑∑

()
(1) (1) ()
11
'( ( ( ))) ( ( )) ( ( ))
mn
ijk j ijk j ijk j ijk
kj
a f Rx e Rx e Rx
μμμ
εφ
−−
==
−−
∑∑

(1) () ()
11 11
'( ( ( ))) ( ( )) ( ( ))

()
,1,2,
M
fK
μ
μ
∈∀= nên suy ra
() ()
1
sup ( )
n
i
X
x
i
eex
μμ
∈Ω
=
=
∑

() ()
11
11 1 11 1
max sup '( ) sup ( ) max sup ( )
nm n nm n
ijk j ijk j
jn jn
yM x x

∑∑ ∑

() ()
11
11 1 11 1
max sup '( ) sup ( ) max sup ( )
nm n nm n
ijk j ijk j
jn jn
yM x x
ik j ik j
ayex bex
μμ
εφ
≤≤ ≤≤
≤∈Ω ∈Ω
== = == =
≤+
∑∑ ∑ ∑∑ ∑

2
(1)
1
11 1
max sup ''( ) sup ( )
2
nm n
ijk j
jn
yM x


Suy ra
2
2
() ( 1)
1
2
,
1
ijk
XX
ijk ijk
aM
ee
bMa
μμ
ε
ε
−
⎡⎤
⎣⎦
≤
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎣⎦ ⎣⎦
(4.21)
hay
2
() ()
M

Vậy (4.9 ) được chứng minh. 
()iii Chọn
(0)
f
ban đầu thoả điều kiện
(0)
1,
M
X
ff
β
−
< (4.22)
Ta có
2
() () ( 1)
M
XX X
ff e e
μμ μ
β
−
−= ≤

(
)
2
2
22
(2) 12 (2)

X
e
μ
μ
β
−
++ + + +
≤≤
()
12
2
2
(0) (0)
12
1
.
MM
XX
M
eff
μ
μ
μ
ββ
β
−
−
≤= − (4.23)
Vậy (4.11) được chứng minh. 
Do (4.22) nên khi

{
}
()
z
μ
như sau
(
)
() ( 1) 1 ( 1)
( ) , 1,2 ,zTz IB Az g
μμ μ
εμ
−−−
=≡− +∀=

với
(0)
zX∈ cho trước bất kỳ.
Từ chú thích 3.2, ta sử dụng công thức xấp xỉ
() ( 1) ( 1)
, 1,2, ,zAzBzg
μμμ
εμ
−−
=++∀= (4.24)
với cách chọn
()
(0) (0) (0)
1
, 0.