CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Chú ý các tính chất sau:
2
a b 0
;
2 2 2
A B C 0
;
2 2 2
A B C 0 ,( 0)
; Tích các số không
âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa
về dạng hằng đẳng thức .
Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a)
2
2 2
a b a b
2 2
b)
2 2
a b 1 ab a b
Bµi 2 : Chứng minh các BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c 2ab 2ac 2bc
b)
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
c)
2 2
a 2b 2ab 2a 4b 2 0
d)
2 2
a 5b 4ab 2a 6b 3 0
e)
4 4 2 2
x y z 1 2x xy x x 1
e)
2 2 2
a b a b b c b c c a c a 0
f)
3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3
a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc
Bµi 4 : Chứng minh:
x 1 x 3 x 4 x 6 10 0
với mọi số thực x.
Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
c) Nếu
x 1, y 1
thì
x y 1 y x 1 1 xy
d) Nếu
0 x y z
. CM:
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z
e) Nếu
2 2 2
a b c 1
thì :
1
ab bc ca 1
2
Bµi 11 : Cho các số dương a, b, c. CMR:
a b c
1 2
b c a c a b
.
Bµi 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện :
ap 2bn cm 0
và
2
ac b 0
. CMR:
2
mp n 0
.
Bµi 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và
c ab
. CMR:
2 2 2 2
a c b c
a c b c
.
c)
2 2 2
a b c a b c 9abc
d)
bc ac ab
a b c
a b c
e)
a b c 3
b c a c a b 2
f)
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
g)
2
x 2x 1
Q , x 2
x 2
c)
2
2
1
T a 4 a
a a 1
.
Bµi 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
4 2
x
U
x x 1
.
DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ .
Bµi 17 : Tìm GTNN của :
a)
f x x 3 15 x
c)
2
2 2
3x 4xy
f x,y
x y
Bµi 19 : Tìm GTNN của :
a)
2
x 4x 4
f x x 0
x
b)
b)
3
f x 1 x 1 x
c)
2
x
f x
x 2
d)
2
3
2
x
f x
x 2
e)
2 2
x y 2, x 0,y 0
. Hãy tìm :
a) GTNN của :
1 1
A
x y
b) GTLN của :
B x y xy
c) GTLN của :
2
C xy
Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của :
a)
2 2
A x y
b)
4 4
B x y
c)
y ax , x a
x a
d)
y 2 x 1 x 2 x 3
e)
y x 1 x 2 x 3 x 4