Sở GD & Đt nghệ an
Trờng THPT Đặng thúc hứa

66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x
tích phân( ) ( )

66
88
x+1-x-1
dx 1
== dx
x+1 2 x+1
I =...

(
T
rang

1
Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi !
- Lỗ Tấn -

Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của
một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn .. Khi tôi có ý tởng viết ra những điều
tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn
khoăn, ngơ ngác hơn.. V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự
diệu kì Toán học .

Thử giải một bi toán khó... nhng cha thật hi lòng !

( ) ( )
()()

66
22
8
42
x+1-x-1
dx 1
=dx=
x+1 2
x+1 -2x


x+1x x-1x
1x+1 1x-1
= dx+ dx+ dx+
22 22
x+ 2x+1 x+ 2x+1
x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x + 1





2
2
1
1+
1
x
=dx
2
1
x- +2+ 2
x
()


x
()
() ()








2
22
1
1- dx
2+1
x
+
2
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx






+-
42 42
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()







2
1
dx+
1
x
+
2
1
x+ - 2- 2
x
()
()
()
()

11
8 8 16 16
x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2
xx
(
Với

1
x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgv
x
)

(
Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ?..
)


12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung

Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________



()
b
Fx
a
= F(b) F(a)

Ví dụ :
()
31
23
0
1
x
11
xdx 1 0
0
33
===

3
3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta
có thể viết : F(b) F(a) = =
()

b
a
fxdx
()

fxdx=-fxdx

3.

() () () ()




bb
aa
fx gxdx= fxdx gxdx

b
a
VD :
()
()
eee
22
111
ee
31
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
11
xx

+= + =+ =+=+




b
a
fxdx

6.
f(x) g(x) trên đoạn [a ; b]



()

b
a
fxdx

()

b
a
gxdx

VD : Chứng minh rằng :
22
00
sin2xdx 2 sinxdx





+




HD . Khảo sát hm số
1
yx
x
=+
trên đoạn [1; 2] ta có :
[]
[]
1;2
1;2
5
y ;y
2
2= =max min


12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung


15
2x x dx x
11
x2

+



2
1
15
2xdx
x 2

+


Phần phơng pháp Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) .
VD . Tính tích phân :
2
1
0
x

+


Quy trình giải toán .

() ()
()
()
x xx

bb
aa
fxdx= gv v' dBớc 1
. Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận .

Bớc 2
. Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt

Bớc 3
. Tính .
()
()
()

vb
va
gtdt

2
xdx
x 1


5 .
2
3
4
dx
sin x



6 .
()
1
0
dx
2x 1 x 1
+ +

7.
()
4
1
dx
x 1x+




t0;
2







v dx = costdt .
Do đó :
1
22
22
00 0 0
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt

= = =

2
2

=
=
2
0
1cos2t 1
sinx
cosx




sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn
;


, f
(
u(t)
)
đợc xác định trên đoạn
v .




b
;


() ()
ua;u= =

12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung




gtdt


Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :

1 .
1
2
0
dx
1x+

2 .
1
2
2
0
dx
1x

3.
1
2
0
dx
x x1+ +

1
2
0
1xdx+


Cách
(1)
Đặt
2
22
t1
1+x = x-t 1= -2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12
v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12 12 12 12
22 42
23

=


+

()
12
ln 2 1
22
+



nên ta có thể chọn
t0;
4


. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách
(2)

: Đặt x=tgt , do
x 0;1


()()
()()
()
()()
()
22
44
00
1sint 1sint
111
dsint dsint
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t


++
=+

+ +


1
=

=
()()
()
()
()
()
()()

.ln
ln
4
0

444
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t
000

++

+ =+

+


=
()
12
ln 2 1
22
+
.
Bình luận :
Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép
tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả
thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn .

VD2 .


T
rang

5
Cách
(1)
Đặt
2
22
t1
1+x = x-t 1= -2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12
v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12
2
22
11

. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách
(2)

: Đặt x=tgt , do
x 0;1


4
=

v dx=
2
1
dt
cos t
.
Do đó :
1
4444
22 2
22
00 000
cos t
111 1cos
dx dt dt dt dt
cost cost cost cost
1x 1tgt



Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :

1 .
2
2
1
x 1dx

2 .
2
2
2
1
x
dx
x 1

3.
0
2
1
x 2x 2dx

++



phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ (
sẽ nói đến ở phần
Phân Loại Các dạng Toán
)
Phơng pháp tích phân từng phần .Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì :

() () () ()
()
() ()

bb
aa
b
uxv'xdx=ux.vx - vxu'xdx
a

hay

() () ()
()
()

bb
aa


12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

6

()
22
00
x cos xdx x sin x sin xdx cosx 1


=+



, rõ rng tích phân
2
2
0
x sin xdx


còn phức tạp hơn tích
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn
u
v
dv
quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta
hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !

VD2.
Tính
2
5
1
ln x
dx
x




ta có :
54
1
du
x
11
vdx
x4x

=




==




Do đó :
22
545 4
11
22
ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2
dx
11
x 4x 4 x 64 4 4x 256 64


Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :
1 .
1
x
0
xedx

2 .
1
3x
0
xedx

3.
()
2
0
x 1cosxdx



4.
()
6
0
2xsin3xdx



5
2
2xln x 1 dx

()
e
2
1
ln x dx


Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ê


Tích phân của các hm hữu tỷA.
Dạng : I
()
()
a0

Px

Công thức cần lu ý : I
dx ln ax b C
ax b a

= =+
+

+Tính
I
1
x1
dx
+
=

x1

Tính
I
2
2
x5
dx

B.
Dạng : I
()
()
a0

2
Px
=d

x
ax + bx + c
1.
Tam thức : có hai nghiệm phân biệt
.
()
2
fx ax bx c=++

Công thức cần lu ý : I
( )
()
()
u' x
dx ln u x C
ux
= =+



=

+=


=+++

=
+


=

Do đó :
I
2
2
dx
x4
=


=
11
dx
2x2



+
< Tổng quát >
Tính
I
22
dx
xa

=

Tính
I
2
2x
dx
9x
=

Tính

x 3x 2
=
+
Phơng pháp : Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy
tầng lầu.

Khi bậc của đa thức P(x)

2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 .

12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung
Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449

Tính
I
( )
()
2
2
dx 2
11
dx C
x4x4 x2
x2

===
+


+
Tính
I
2
4x
dx
4x 4x 1
=
Tính
I
2
2
x3
dx
x 4x 4

=
+

Tính
I
3
2
x
dx
x 2x 1
=
++
Phơng pháp :
Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt :

x tg dx d
cos
= =

, ta có :

I
()
22
1
dd
cos tg 1
==
+

C=+
,
với
( )
tg x =< Tổng quát >
Tính
I
22
1
dx
xa
=

++

Tính
I
2
2x 1
dx
x2x5
+
=
++

Tính
I
2
2
x
dx
x 4
=
+


()
32
fx ax bx cx d=+++