SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 1
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ

Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các
bài toán về bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và
giả thiết của bài toán đều là những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp.
Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp:
Biểu thức
12
(,, ,)
n
fxxx
được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc
k
(
k
∈
¥
) nếu
(
)
(
)
1212
,, ,,, ,
k
nn
fmxmxmxmfxxx
=

thức một biến. Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát
hàm số.
Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai số thực
,
xy
thay đổi và thỏa mãn
22
1
xy
+=
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2(6)
122
xxy
P
xyy
+
=
++
(Đề thi ĐH Khối B – 2009 ).
Lời giải.
* Nếu
01
yP
=⇒=
.

2
4618
'
23
tt
ft
tt
−++
=
++

()
12
3
'03,
2
fttt
⇒=⇔==−
,
(
)
lim1
t
ft
→±∞
=

Lập bảng biến thiên ta được:
33
max()(3), min()()3

đạt được khi
2
3
2
12
13
1
xy
y
t

=−




=±=±

+

.
Ví dụ 2. Cho
,
xy
là hai số thực thay đổi và thỏa mãn
2
2
32
11
y

++
.
Do
2
230ttt
++>⇒∈
¡

SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 2
Khi đó:
2
2
22
1321
(123)11
23
tt
Att
xtt
++
=++=
++

Xét hàm số
2
2
321
(),
23

Suy ra
max11.max()22113
Aft==+
đạt được khi
2
23623
1111
23
tt
x
y
x

+++

=±=±



−−
=

min11.min()22113
Aft==−
đạt được khi
2
23623

nhất của biểu thức
3
Pxy
=+
.
Lời giải.
Đặt
,2
xtyt=≥
, khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra :
(
)
2
32
3
2
12
1
t
ytty
t
−
+=−⇒=
+

Vì
322
1113
490(3)(3)03
42

=∈=


+

, ta có:
432
32
34212
'()
(1)
ttt
ft
t
−++−
=
+

Vì
(
)
(
)
(
)
43233222
34212322930,
ttttttttttD
−++−=−+−+−+>∀∈




()
3
max13
2
Pf
=+=
đạt được khi
3
4
1
4
x
y

=




=


.
Ví dụ 4. Cho các số thực dương
,
xy
thỏa
1

xttx
−+≤
, vì
x
tồn tại nên bất phương trình này phải có
nghiệm
x
hay
2
404
ttt
∆=−≥⇔≥

Xét hàm số
3
2
2
(),4
fttt
t
=+≥
có
(
)
5
2
33
22
4
'()20, 4


=

.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,,
xyz
thoả
()3
xxyzyz
++=
(*), ta luôn có:
333
()()3()()()5()
xyxzxyyzzxyz
+++++++≤+ (ĐH Khối A – 2009 ).
Lời giải.
Đặt
;
yaxzbx
==
.
Khi đó gải thiết bài toán trở thành:
2
()3
xxaxbxabx
++=
13
abab
⇔++=

3440
S
P
SP
SP
SS

+

=

≥
⇔

+=



−−≥

1
3
2
S
P
S

+
=


⇔−−≥⇔+−≥
luôn đúng do
2
S
≥
.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho các số thực ,,1;4;,
xyzxyxz




. Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức
23
xyz
P
xyyzzx


(ĐH Khối A – 2011 ).
Lời giải. Đặt
1
,,;1
4
yaxzbxab





)
93
ababb
baa
a
b
b






2222
15433
351(43)0
abbbabbab


SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 4
Nên
()
fa
là hàm đồng biến trên
1141
;1()

22
411
'()'()0
2
(14)(1)
gbgbb
bb




Từ đó suy ra:
134
()
233
gbg











hay
34
33





, mà
4,1
,,1;4
2
xy
xyz
z














Vậy
34
min
33
P  .

==>

Từ giả thiết ta có:
142(1)
(2)142
11
yy
xx
yyy

−
++=⇒=−=

++


Do
2
122
56023
3313
xayyy
xyyy
ycy
−
=≥⇒≥⇔≥⇔−+≤⇔≤≤
+

Khi đó:
22

yyy
yy
fyy
yyyy
−−−−
−++

==<∀∈

−−

Suy ra
2;3
11
maxmax()(2)
6
Pfyf


===, đạt được khi
2
,2
3
abcb
==2;3
minmin()(3)1
Pfyf


Lời giải.
Đặt
,;,0
baycaxxy
==>
, từ giả thiết ta có:
( )
11
1116
xy
xy

++++=



2
11
(1)1310
xyxy
yy

⇔+++−++=



(*)

SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT





+<




2
0
0
11735735
301610
1
7
22
1
13
y
y
yyy
y
yy
y
y
y


>

với
735735
;
22
y

−+
∈



ta tìm được
7352135
max
22
Pf

−+
==


, đạt được khi
735
2
35
2
ba
ca

−

)
2
211323210
xx
+−−++=
.
Cuối cùng chúng tôi đưa ra một số bài tập để bạn đọc luyện tập.
Bài 1. Cho
22
xyxy1
++=
. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
Axxy2y
=−+ .
Bài 2. Cho các số thực
,
xy
thỏa
22
3
xyxy
++≤
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
Pxxyy
=−+
Bài 3. Cho
,

xy
+<
.
Bài 5. Cho các số thực
,,0
abc
≥
thỏa
33
42()
abcabc
≥−+ . Chứng minh rằng
(
)
444222222
7
3232
16
abcabbcca
++≥−+
.
Bài 6. Cho các số thực dương
,,
abc
thỏa
2
3
abbccab
++=
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ



.
SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 6
Bài 8. Cho các số thực dương
,,
abc
thỏa
( )
22
1110
ac
b
ab

++=


và
4
cb
≥
. Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
acb
P
b
+−
=