Bi 1: Cho biểu thức : A =
933
33
23
23
+++
+
xxx
xxx
a. Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A .
b. Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên .
a. Biến đổi : x
3
+3x
2
+3x +9 = ( x+ 3 ) ( x
2
+3 )
Vì x
2
+ 3 > 0 đ k : x

- 3 ( 1 ) .
Biến đổi và rút gọn đợc A =
3
1
+

x
x
b.Biến đổi đợc : A = 1 -

971 x
=
1060
946x
- 3 .






+

1
1010
996 x
+






+

1
1035
971 x
+


1
1035
1
1010
1
2006 =






++ x

02006
=
x

2006= x
.
Bi 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
1
2
x
x
với x > 1 .
Ta có : E =2+ ( x-1 ) +
1
1
x

x+3 -4 -2 -1 1 2 4
x -7 -5 -4 -2 -1 1
1
Bi 5: Giải phơng trình:
a)
2
3 2 1 0x x x + + =
b)
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

2
3 2 1 0x x x + + =
(1)
+ Nếu
1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện


(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ
( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ


b
c
a
b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2+
x
y
y
x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A

2
b) x
2
+ 7x + 10
4x
2
-49-12xy+9y
2
=(4x
2
-12xy+9y
2
)-49
=(2x-3y)
2
-7
2
=(2x-3y+7)(2x-37-7)
2
Bài 8: Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −

− − − − −
2b)
( 2) 1 1
1
2 2
x
A
x x
− − +
= = − +
− −
, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên,
khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
Bài 9: Giải phương trình
) 2 1 3 2a x x+ = −
b) x
2
– 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 10 Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng
x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz =
( ) ( ) ( )

2
+ z
2
– xy – yz – zx
=
( )
2 2 2 2 2 2
1
2 ( 2 ) ( 2 )
2
x xy y y yz z x xz z
 
− + + − + + − +
 
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
x y y z x x
 
− + − + −
 
dpcm
Bài 11 Giải bất phương trình
2008
2007
<
− x
Điều kiện

3
2007
2008
−
0
Bi 12: Cho biểu thức
2
2
1 2 4
( 4 5)
1 1 1
x
A x x
x x x


= +
ữ
+

a) Tìm x để A xác định
b) Rút gọn A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
a) Đ/k x khác 1,-1
b) A=
2
8 15x x +

c) A = (x-4)
2

.2 + 7
n
.5 + 26 không là số chính phơng với n

N
xét n= 3k, 3k+1, 3k+2 và chứng minh số đó chia hết cho 3
Bi 15: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
a) x - 11x + 30x
b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z
2xy + 2yz + 2zx - x - y - z
=4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z
=(2xy) - [( x + y) - 2z(y + z )+ (z)]
=(2xy) - (x + y - z )
=(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z)
=(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y)
Bi 16: Cho cỏc s thc x, y, z, a, b, c tha món x+ y + z = 1; x + y + z = 1 v
= = . Chng minh rng: ab + bc + ca = 0
t = = = k => a = kx ; b = ky ; c = kz
ab + bc + ca = k
2
(xy + yz + zx) = k
2
[(x + y + z)
2
- (x
2
+ y
2
+ z
2

Chứng minh rằng : m chia hết cho 2003.
Học sinh viết được
n
m
=2003.[ + +….+ ]
= 2003. (1)
Trong đó a và b là các số nguyên và b= 668.669….1334.1335
Mà 2003là số nguyên tố nên ( b; 2003)=1
Từ (1) suy ra b.m = 2003.a.n (2)
Do a;n là các số nguyên nên từ (2) suy ra m.b+ 2003 mà ( b;2003)=1
nên m+ 2003
Bài 19: Cho biểu thức M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−





−
−
−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
=
)3(
)1)(2(
−
−+
aa
aa
n
.
)1(4
)3(4
−
−
aa
a

Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bài 20: Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48
b) ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)

2n
+12.6
n
+7.6
n
- 7.6
n
=( 7.25
n
- 7.6
n
) + 19.6
n
= 7(25
n
- 6
n
)+19.6
n
Do 7(25
n
- 6
n
)

19 và 19.6
n

19
Nên ( 7.5

=++
c
z
b
y
a
x
Từ
0=++
z
c
y
b
x
a
⇒
0=
++
xyz
cxybxzayz
⇒
ayz + bxz + cxy = 0
Từ
1=++
c
z
b
y
a
x

2
c
z
b
y
a
x
++
+
abc
xyc2
+
abc
yza2
+
acb
xzb2
=1
Mà ayz + bxz + cxy = 0
⇒
2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc
≠
0)
Hay
1
2
2
2
2
2

y x x y
−
− + =
− − +
a) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
- 4x
2
+ 4x – x
2
+ 4x – 4
= x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2

b) Xét
2
A 10x 7x 5 7
5x 4
B 2x 3 2x 3
− −
= = + +

=
4 4
3 3
x x y y
(y 1)(x 1)
− − +
− −

=
( )
4 4
2 2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
− − −
+ + + +
( do x + y = 1
⇒
y - 1= -x và x - 1= - y)
=
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y (x y)
xy(x y y x y yx xy y x x 1)
− + + − −
+ + + + + + + +

=

( )
[ ]
2 2
x y x( y) y( x)
xy(x y 3)
− − + −
+
=
( )
2 2
x y ( 2xy)
xy(x y 3)
− −
+

6
=
2 2
2(x y)
x y 3
− −
+
Suy ra điều cần chứng minh
Bài 23: Giải các phương trình sau:
a) (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2

2
+ 4(x
2
+ x) = 12 đặt y = x
2
+ x
y
2
+ 4y - 12 = 0
⇔
y
2
+ 6y - 2y -12 = 0
⇔
(y + 6)(y - 2) = 0
⇔
y = - 6; y = 2
* x
2
+ x = - 6 vô nghiệm vì x
2
+ x + 6 > 0 với mọi x
* x
2
+ x = 2
⇔
x
2
+ x - 2 = 0
⇔

2006
2009
2007
2009
2008
2009 +
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
⇔
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + − − − =

⇔
0)
2003
1
2004
1
2005

1
2006
1
2007
1
2008
1
<−−−++

Vậy x + 2009 = 0
⇔
x = -2009
Bài 24: Cho biểu thức M =






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3







+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:









2
6
+x
M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+−
− x
xx
=
x−2
1
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
7
x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -

5
1
=
5
2

Bài 25: (Rồi) Cho biểu thức: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a

+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 26:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x
2
- 2xy + 2y
2
- 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
a) Ta có : A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y +4 + 1 = (x-y)
2
+ (y - 2)

x
=
1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx
x
=
1
3
2
+x
Do x
2
+1>0 nên B =
1
3
2
+x
≤

(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)
⇔
x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy
3
z +x
2
yz
2

⇔
x
2

xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
⇔
(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++− )(
= 0
Do x - y
≠
0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
8
Bi 28: Cho biu thc M =






+
+

+

2
1
36
6
4
3
2

.
Bi 30:Gii phng trỡnh:
3 2
2 5 2 0x x x
+ + =
Bi 28:a) M=






+
+

+

2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:



6
)2)(2(
2
xxxxx
x
:
2
6
+x
M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+
x
xx
=
x2
1
b)Tớnh giỏ tr ca M khi
x
=
2
1
x
=
2
1

2
1
+
=
2
5
1
=
5
2

Bi29:
( ) ( )
3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + = + + =
. x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1.
.Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
+ = =



+ = =

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
Bi 30:
3 2
2 5 2 0x x x
+ + =

x
x
=


=


=


Bài 31: a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử: A= x
3
(x
2
7)
2
36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh biểu thức: n
3
(n
2
7) 36n
luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Bài 32: a) Chứng minh rằng tổng: A= 7
1
+7
2
+7
3

y
a
x
. Chng minh rng
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Bài 31: a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x
3
(x
2
7)
2
36x = x[x
2
(x
4
-14x

= x(x
2
- 9)( x
4
5x
2
+ 4) = x(x
2
- 9)( x
4
4x
2
- x
2
+ 4)
= x(x
2
- 9)( x
4
4x
2
- x
2
+ 4) = x(x
2
- 9)[x
2
( x
2
4)

1
+7
2
+7
3
+7
4
+) + (7
5
+7
6
+7
7
+7
8
+) + +(7
4k-3
+7
4k-2
+7
4k-1
+7
4k
)
= (7
1
+7
2
+7
3

4
)(7
0
+7
4
+7
8
+7
12
+ +7
4k-4
)
= 7(1+7+7
2
+7
3
)(1+7
4
+7
8
+7
12
+ +7
4k-4
)
= 7(1+7+49+343)(1+7
4
+7
8
+7

)
Vậy A chia hết cho 400.
Bi 33: T
0=++
z
c
y
b
x
a

0=
++
xyz
cxybxzayz

ayz + bxz + cxy = 0
T
1=++
c
z
b
y
a
x

2
2
2
2

a
x
++
+
abc
xyc2
+
abc
yza2
+
acb
xzb2
=1
M ayz + bxz + cxy = 0

2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc

0)
Hay
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b

2

+
+
.









+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
(n

N*)
a) Rỳt gn M
10
b) Với a>2. Chứng minh rằng 0 < M < 1
Bài 34: P =
( ) ( ) ( ) ( )

aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
=
)3(
)1)(2(

n
a
a
> 0 (1)
Với a>2
⇒
a + 2 < 2a và 2a < a
2

≤
a
n+1
( vi n
∈
N*) => a + 2 < a
n+1
Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bµi 37: Chøng minh r»ng nÕu:
)1()1(
22
xzy

Ta biÕn ®æi tõ bµi ra:
⇒
(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)
⇔
x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy
3
z +x
2
yz
2

⇔

) = 0
⇔
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
⇔
(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++− )(
= 0
Do x - y
≠
0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (®pcm)
11