Chương I: DAO ðỘNG CƠ
DAO ðỘNG ðIỀU HỒ
1. Dao động
Chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng gọi là dao động. Dao động có thể là tuần hồn, có thể là khơng tuần
hồn.
Dao động tuần hồn: Chuyển động được lặp lại liên tiếp và mãi mãi. gọi là dao động tuần hồn.
Khi vật thực hiện được một dao động Ta gọi giai đoạn đó là một dao động tuần hồn hay một chu trình.
Thời gian thực hiện một dao động tuần hồn gọi là chu kì (kí hiệu là T) của dao động tuần hồn. Đơn vị của chu kì
là giây (s).
Trong 1 giây chuyển động thực hiện được f=
1
T
dao động tuần hồn, f gọi là tần số của dao động tuần hồn. Đơn
vị của tần số là
1
s
, gọi là héc (kí hiệu Hz).
2. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lò xo.
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang (Hình 6.3)
Con lắc lò xo gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng
khơng đáng kể, đầu kia củalò xo cố định.
Trục x như hình vẽ, gốc O ứng với vị trí cân bằng. Toạ độ x của vật
tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ.
Lực F tác dụng lên vật nặng là lực đàn hồi của lò xo, lực này ln
hướng về O (trái dấu với li độ) và có độ lớn tỉ lệ thuận với li độ,
nên: F= -kx ; hệ số tỉ lệ k là độ cứng của lò xo.Lực F ln ln hướng
về vị trí cân bằng nên được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục.
Gia tốc của vật nặng (khối lượng m) bằng đạo hàm hạng hai của li
độ theo thời gian x’’.Bỏ qua ma sát và áp dụng định luật II Niu- tơn,
ta có: mx'’= - kx hay là x’’=
k

ω ϕ
t +
)=-
ω
2
x (6.6)
Thay biểu thức (6.6) của x’’ vào phương trình (6.3), ta thấy rằng phương trình này được nghiệm đúng.
Hình 6.3. Con lắc lò xo
a) Vật nặng ở vò trí cân bằng O, lò xo không dãn.
b) Vật nặng ở vò trí M, li độ x, vật chòu lực tác dụng
của lực đàn hồi F = - kx của lò xo.
x
O
x
M
O
b)
a)

Phương trình (6.4) cho sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian, gọi là phương trình dao động.
Dao động mà phương trình có dạng (6.4), tức là vế phải là hàm cơsin hay sin của thời gian nhân với một
hằng số, gọi là dao động điều hồ.
4. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hồ
Với giá trị của A dương trong (6.4):
a) A gọi là biên độ, đó là giá trị cực đại của li độ x ứng với
lúc cos(
ω ϕ
t +
)= 1. Biên độ ln ln dương.
b) (

(6.7)
Tần số f của dao động điều hồ, theo định nghĩa, là: f=
1
T
=
2
ω
π
(6.8)
7. Vận tốc trong dao động điều hồ: v=x’= -
ω
Asin(
ω ϕ
t +
) =
ω
Acos
π
 
ω ϕ
 
 
t + +
2
(6.9)
như vậy là vận tốc cũng biến đổi điều hồ và có cùng chu kì với li độ. Đồ thị vận tốc (đường đứt nét) đối chiếu với đồ thị li
độ ( đường liền nét) được vẽ trên Hình 6.5.
Chú ý rằng: Ở vị trí giới hạn x=
±
A thì vận tốc có giá trị bằng 0.

(pha ban đầu)
T
T
T
x
t
T
- A
A
O

Hình 6.7 Véctơ quay vào một thời
điểm t bất kì.
ϕ
ϕϕ
ϕ
M
P
x
x
O
(Hình 6.6). Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và
OM

sẽ là
ω ϕ
t +
(Hình 6.7),
góc đó chính là pha của dao động.Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay
OM

A. Li độ cực đại. B. Gia tốc cực đại. C. Li độ bằng 0. D. Pha bằng
4
π
.
2. Gia tốc của chất điểm dao động điều hoà bằng 0 khi
A. Li độ cực đại. B. Li độ cực tiểu. C. Vận tốc cực đại hoặc cực tiểu. D. Vận tốc bằng 0.
3. Dao động cơ điều hoà đổi chiều khi
A. Lực tác dụng đổi chiều. B. Lực tác dụng bằng 0.
C. Lực tác dụng có độ lớn cực đại. D. Lực tác dụng có độ lớn cực tiểu.
4. a) Thử lại rằng: x= A
1
cos
ω
t+ A
2
sin
ω
t. (6.14)
trong đó A
1
và A
2
là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).
b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A
1
và A
2
trong biểu thức ở vế phải của (6.3) như sau:
A
1

ωA

-ωA

ω
2
A

-ω
2
A

O

T T/2

T
Đường biểu diễn x(t), v(t) và a(t) vẽ trong cùng một
hệ trục toạ độ, ứng với φ = 0
a(t)

v(t)

x(t)6. Một vật dao động điều hoà với biên độ A= 4cm và chu kì T= 2s.
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc nó đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Tính li độ của vật tại thời điểm t= 5,5s.
7. Một vật nặng treo vào một lò xo làm cho lò xo dãn ra 0,8cm. Cho vật dao động. Tìm chu ì dao động ấy. Lấy g= 10m/s

QM xác định bởi góc


OQM
=
α
gọi là li
độ góc.
Chiều dương để tính s và
α
gọi là chiều từ O đến A. Hệ thức giữa s và
α
là: s= l
α
.
Các lực tác dụng lên vật là: - Trọng lực
P
→
có độ lớn mg hướng thẳng đứng xuống dưới.
- Phản lực
R
→
của dây hướng theo MQ.
Ta phân tích trọng lực
P
→
thành hai phần: thành phần
n
P
→

của trọng lực luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O, giống như lực kéo về trong con
lắc lò xo.
H 7.2

Q
A
B
O
Q
A
B
O
M

l
P


R


α

a) Con lắc đơn.
b) Sơ đồ con lắc đơn.
Hình 7.1 Con lắc đơn và sơ đồ.

α
Q
A

P
→
có độ lớn mgsin
α
và luôn hướng về O, nên: P
t
= - mgsin
α

Ngoài ra,
α
<< 1 nên có thể coi gần đúng sin
α

≈
α
. Áp dụng định luật II Niu- tơn, ta có:
ms'’= - mgsin
α

≈
mg
α
≈
- mg
s
l
(7.2) Từ đây, suy ra: s’’+
g
l

Asin
ϕ
= 0
từ đó, suy ra:
ϕ
= 0 và A= s
0
. Vậy, nếu kích thích như ở mục 1 thì: s=s
0
cos
ω
t (7.8)
Có thể chọn góc lệch
α
của dây treo làm thông số xác định vị trí (toạ độ góc), khi đó:

α
=
α
0
cos
ω
t (7.9)
Cả hai phương trình (7.8) và (7.9) đều mô tả cùng một chuyển động dao động của con lắc đơn. Đó là một dao động
điều hoà.
Dao ñộng của con lắc ñơn với góc lệch nhỏ là dao ñộng ñiều hoà quanh vị trí cân bằng với tần số góc
ω
ωω
ω
cho

I
T = 2
mgd
D.
π
2 I
T =
mgd
.
3. Tìm chiều dài của con lắc đơn có chu kì 1s ở nơi có gia tốc trọng trường g= 9,81m/s
2
.
4. Ở nơi mà con lắc đơn đếm giây (tức là có chu kì 2 s) có độ dài 1 m thì con lắc đơn có độ dài 3m dao động với chu kì
bằng bao nhiêu?
5. Một vật rắn có khối lượng m= 1,5kg có thể quay quanh một trục nằm ngang. Dưới tác dụng của trọng lực, vật dao động
nhỏ với chu kì T= 0,5s. Khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của vật là d= 10cm. Tính mơmen qn tính của vật đối với
trục quay (lấy g= 10m/s
2
).

8. NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ðỘNG ðIỀU HỒ
1. Sự bảo tồn cơ năng
Trong các con lắc mà ta đã xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi (F= -kx) hoặc trọng lực
(P= mg). Các lực này là lực thế. Ở SGK Vật lí 10 nâng cao, ta đã biết rằng cơ năng (động năng + thế năng) của một vật
chuyển động trong trường lực thế được bảo tồn.
Như vậy: Cơ năng của vật dao động được bảo tồn.
Ta sẽ xem xét chi tiết sự biến đổi từng thành phần của cơ năng, tức là động năng và thế năng, của vật nặng trong
con lắc lò xo và thử lại rằng cơ năng được bảo tồn.
2. Biểu thức của thế năng
Trước hết, cần nói rõ rằng thế năng W

t+
ϕ
)mà
2
ω =
k
m
tức là k= m
ω
2
, do đó:
W
t
=
1
2
m
ω
2
A
2
cos
2
(
ω
t+
ϕ
) (8.2)
Đây là biểu thức của thế năng phụ thuộc vào thời gian. Từ đây có thể khảo sát sự biến đổi của thế năng theo thời gian (xem
Hình 8.1).

t+
ϕ
) (8.3) Đây là biểu thức của động năng phụ thuộc vào thời gian.
Từ đây có thể khảo sát sự biến đổi của động năng theo thời gian (xem cột bên trái).
Vì khối lượng của lò xo rất nhỏ so với khối lượng của vật nên có thể bỏ qua động năng của lò xo. Như thế, động
năng của vật cũng là động năng của cả con lắc lò xo.
4. Biểu thức của cơ năng
Hình 8.2 Đường biểu diễn công thức biến đổi động
năng theo thời gian
t
W
đ
O

Cơ năng W của vật nặng bằng tổng động năng và thế năng của vật, đó cũng là cơ năng của con lắc lò xo: W= W
đ
+
W
t
=
1
2
m
ω
2
A
2

(
)

T
2
D. Không đổi.
2. Một vật có khối lượng 750g dao động điều hoà với biên độ 4cm và chu kì T= 2s. Tính năng lượng của dao động.
3. Tính thế năng, động năng và cơ năng của con lắc đơn ở một vị trí bất kì (li độ góc
α
) và thử lại rằng cơ năng không đổi
trong chuyển động.
4. Dựa vào định luật bảo toàn cơ năng, tính:
a) Vận tốc của vật nặng trong con lắc lò xo khi đi qua vị trí cân bằng theo biên độ A.
b) Vận tốc của con lắc đơn khi đi qua vị trí cân bằng theo biên độ góc
0
α
.

9. BÀI TẬP VỀ DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
Bài tập 1
Chứng tỏ rằng, một phù kế nổi ở trong một chất lỏng có thể dao động điều hoà theo phương thẳng đứng.
Ghi chú: Phù kế là dụng cụ để đo khối lượng riêng của chất lỏng. Đó là một ống thuỷ tinh rỗng, kín, phía dưới là
một cái bầu nặng (xem Hình 9.1). Khi thả phù kế vào một chất lỏng, mực chất lỏng ngoài ống thuỷ tinh khi cân bằng cho ta
biết khối lượng riêng của chất lỏng.
Bài tập 2
Điểm M dao động điều hoà theo phương trình:
x= 2,5cos
10 t
2
π
 
π +
 

Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m= 0,4kg gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k= 40N/m. Vật
nặng ở vị trí cân bằng. Dùng búa gõ vào quả nặng, truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 20cm/s hướng theo trục của lò xo.
a) Viết phương trình dao động của vật nặng.
b) Muốn cho biên độ dao động của vật nặng bằng 4cm thì vận tốc ban đầu truyền cho vật phải bằng bao nhiêu?
Bài tập 4
Một nhà du hành vũ trụ ngồi trong một dụng cụ đo khối lượng (DCĐKL). Dụng cụ này được chế tạo để dùng trong
các con tàu vũ trụ trên quỹ đạo mà nhà du hành vũ trụ có thể dùng nó để xác định khối lượng của mình trong điều kiện phi
trong lượng trên quỹ đạo quang Trái Đất. DCĐKL là một cái ghế lắp vào đầu một lò xo (đầu kia của lò xo gắn vào một
điểm trên tàu). Nhà du hành ngồi vào ghế và thắt dây buộc mình vào ghế, cho ghế dao động và đo chu kì dao động T của
ghế bằng một đồng hồ hiện số đặt trước mặt mình.
a) Gọi M là khối lượng nhà du hành, m là khối lượng ghế, k là độ cứng của lò xo, hãy chứng tỏ rằng:
M=
π
2
k
4
T
2
– m.
b) Đối với DCĐKL trong con tàu vũ trụ Skylab 2 thì k= 605,5N/m, chu kì dao động của ghế không có người là T
0
=
0,90149s. Tính khối lượng m của ghế.
c) Với một nhà du hành ngồi trong ghế thì chu kì dao động là T= 2,08832s. Tính khối lượng nhà du hành.
10. DAO ðỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ðỘNG DUY TRÌ
1. Quan sát dao động tắt dần
Có bốn con lắc lò xo giống hệt nhau, vật nặngcủa mỗi con lắc dao động trong một mơi trường khác nhau
: a) khơng khí; b) nước; c) dầu; d) dầu rất nhớt (xem Hình 10.1)Ta nhận thấy rằng, con lắc a dao động gần như điều hồ
trong một thời gian khá dài. Con lắc b dao động với biên độ giảm dần theo thời gian rồi dừng lại; người ta gọi chuyển động
của con lắc b là dao động tắt dần. Con lắc c chỉ đi qua lại vị trí cân bằng vài lần rồi dừng lại, chuyển động ấy cũng gọi là

0
ω
chịu thêm tác dụng của lực cản nhỏ thì dao động của vật
(hay hệ) ấy trở thành tắt dần chậm.
Dao động tắt dần chậm có thể coi gần đúng là dạng sin với tần số góc
0
ω
và với biên độ giảm dần theo thời gian
cho đến bằng 0.
5. Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (do ma sát) để bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà khơng
làm thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động kéo dài mãi mãi và được gọi là dao động duy trì.
6. Ứng dụng của sự tắt dần dao động: cái giảm rung
Có những dao động kéo dài gây nên tác dụng khơng có lợi, người ta tìm cách làm cho nó chóng tắt. Ví dụ: ơtơ đi
trên đường gặp chỗ mấp mơ thì xe bị nảy lên và rơi xuống đột ngột (bị xóc), làm phát sinh lực va chạm lớn. Người ta tránh
xóc bằng cách nối khung xe với trục bánh xe bằng một hệ thống lò xo. Vì có hệ thống lò xo này nên mỗi lần xe đi qua chỗ
mấp mơ thì khung xe, thay vì bị nảy lên, bắt đầu dao động. Nếu dao động của khung kéo dài sẽ gây khó chịu cho người
ngồi trên xe, người ta lại phải dùng một cái giảm rung để làm tắt nhanh dao động.
Cái giảm rung gồm một pittơng có những lỗ thủng, chuyển động được theo chiều thẳng đứng trong một xi lanh
chứa đầy dầu nhớt. Pittơng gắn với khung xe, xilanh gắn với trục bánh xe. Khi khung xe dao động đối với trục bánh xe thì
Hình 10.1 Dao động trong môi trường mới
d)
c)
b)
a)

pittông cũng dao động rong xilanh và dầu nhớt chảy qua các lỗ thủng ở pittông tạo nên một lực ma sát lớn làm tắt dần
nhanh dao động.
Lò xo cùng với cái giảm rung gọi chung là bộ phận giảm xóc.
11. DAO ðỘNG CƯỠNG BỨC

của
ngoại lực.
2. Cộng hưởng
Với biên độ F
0
của ngoại lực đã cho, biên
độ A của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào tần
số góc
Ω
của ngoại lực. Sự phụ thuộc đó được
biểu diễn bởi một đường cong trên đồ thị của
Hình 11.2.
Theo dõi đường biểu diễn, ta thấy rằng:
Giá trị cực đại của biên độ A của dao động cưỡng bức đạt đượ
c khi tần số góc củ ngoại lực (gần đúng) bằng tần số góc riêng
0
ω

của hệ dao động tắt dần.
Khi biên độ A của dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại,
người ta nói rằng có hiện tượng cộng hưởng. Điều kiện để xảy ra cộng hưởng là
Ω
=
0
ω
(gần đúng).
A
O

3. Ảnh hưởng của ma sát

móc, phải cố làm sao cho tần số riêng của mỗi bộ phận trong máy khác nhiều so với tần số biến đổi của các lực có thể tác
dụng lên bộ phận ấy, hoặc làm cho dao động riêng tắt rất nhanh. Khi lắp đặt máy cũng phải tránh để cho tần số rung do
máy tạo nên trùng với tần số riêng của các vật gần máy. Ví dụ: nếu một động cơ điện lắp trên một tấm ván, mà tần số quay
của động cơ gần bằng tần số riêng của tấm ván thì ván có thể rung rất mạnh (Hình 11.5).

12. TỔNG HỢP DAO ðỘNG
1. Vấn ñề tổng hợp dao ñộng
Như vậy, muốn tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cần cộng hai hàm dạng sin. Sau đây ta xét quy tắc
cộng trong trường hợp hai hàm sin có cùng tần số góc.
2. Tổng hợp của hai hàm dạng sin cùng tần số góc. Phương pháp giản ñồ Fre- nen
Cho hai hàm dạng sin:
x
1
= A
1
cos(
ω
t+
1
ϕ
) (12.1)
x
2
= A
2
cos(
ω
t+
2
ϕ

1
OM

biu din dao ng
iu ho x
1
v
2
OM

biu din x
2
vo thi im t= 0.
Theo quy c mc 9, Bi 6 thỡ:
*
1
OM

cú di A
1
v hp vi trc x gúc (Ox,
1
OM

)=
1

vo lỳc t= 0.
*
2


(Hỡnh 12.2).
OM

=
1
OM

+
2
OM

(12.4)
Vect
OM

cú hỡnh chiu trờn trc x l tng ca x
1
v x
2
. x= x
1
+ x
2
.
Vy
OM

chớnh l vect quay biu din tng ca x
1


cng khụng bin dng, hỡnh ny ch quay u quanh O vi tc gúc

nh
hai cnh ca nú.
Vect
OM

biu din dao ng tng hp x l ng chộo ca hỡnh bỡnh hnh, vect ny cng quay u quanh O
vi tc gúc

.
3. Biờn ủ v pha ban ủu ca dao ủng tng hp
di ca vect quay
OM

(biờn A) v gúc

= (Ox,
OM

)m
OM

hp vi trc x vo thi im t= 0 (pha
ban u) cú th tớnh c theo cụng thc lng giỏc trong tam giỏc OM
1
M (Hỡnh 12.4).
(OM)
2

2

-
1

)
di ca vect quay
OM

chớnh l biờn A ca dao ng tng hp x, cũn gúc

= (Ox,
OM

)
chớnh l pha ban u: A
2
=
2
1
A
+
2
2
A
+ 2A
1
A
2
cos(

v vo lch pha ca cỏc dao ng x
1
v x
2
.
Hỡnh 12.4 Giaỷn ủo Fresnen ủeồ tỡm A vaứ




P
M
M
2
M
1
O
x

Với A
1
và A
2
đã cho thì biên độ A có giá trị lớn nhất khi độ lệch pha
2
ϕ
-
1
ϕ
= 0 (x

ϕ
=
π
(x
1
và x
2
ngược pha) hoặc bằng
π
cộng
một số nguyên lần 2
π
: A
2
=
2
1
A
+
2
2
A
- 2A
1
A
2
hay là A=
1 2
A A
−

ϕ
là pha,
ϕ
là pha ban đầu.
Chu kì T của dao động: T=
2
π
ω
Tần số f của dao động: f =
1
T
=
2
ω
π

Mỗi dao động điều hoà được biểu diễn bằng một vectơ quay
OM

có độ dài bằng biên độ A, vectơ này quay quanh O với
tốc độ góc
ω
, vào thời điểm ban đầu t= 0, vectơ quay hợp với trục x một góc bằng pha ban đầu. Hình chiếu của vectơ
quay
OM

lên trục x thì bằng li độ của dao động.
2. Nếu một vật khối lượng m, mỗi khi dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng O một đoạn x, chịu một lực tác dụng F= -kx thì vật
ấy sẽ dao động điều hoà quanh O với tần số góc
k

F= P
t
=-m
g
l
s s: li độ cong.
Trọng lực của vật rắn và
lực của trục quay có
momen
M=-mgdsin
α
α
: li độ góc
Phương trình
động lực học của dao
động

x” +
ω
2
x= 0

s” +
ω
2
s= 0

α
” +
ω

ω
t+
ϕ
) s
0
<l
α
=
α
0
cos(
ω
t+
ϕ
)
α
0

<1
Cơ năng
W=
1
2
kA
2
=
1
2
m
ω

ω
thì sau moat thời
gian chuyển tiếp, hệ sẽ dao động với tần số
Ω
của ngoại lực, dao động này gọi là dđ cưỡng bức.
Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ và tần số
Ω
của ngoại lực. Khi tần số này bằng (gần đúng)
tần số riêng
0
ω
của hệ dao động thì biên độ của dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, đó là hiện tượng cộng hưởng.
7. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương là cộng hai hàm x
1
và x
2
dạng sin. Nếu hai hàm cùng tần số góc
ω
thì có
thể dùng phương pháp giản đồ Fre- nen: vẽ các vectơ quay
1
OM

và
2
OM

biểu diễn x
1
và x

= + + −
tan
ϕ
=
1 1 2 1
1 1 2 2
sin sin
cos cos
A A
A A
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
+

CÁC DẠNG TOÁN TRONG DAO ðỘNG CƠ HỌC
DAO ðỘNG TUẦN HOÀN – DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
I. DAO ðỘNG TUẦN HOÀN
:
1. Dao ñộng:
Chuyển động của một vật được gọi là dao động nếu như nó
chuyển động qua lại nhiều lần xung quanh một vị trí cân bằng. a)
b)
c)
2. Dao ñộng tuần hoàn:
a. Khái niệm:
* Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động được lặp lại mãi mãi theo thời gian.

d
FQP ,,

áp dụng định luật II Niu Tơn :
amFQP
d
.=++
( 2)
Chiếu PT (2) lên trục toạ độ ta có:
maF
d
=−
(2.1)

//
xmamxk ==−⇒

0
//
=+
⇒
x
m
k
x0
2//
=+ xx

ω
 
+ +
 
 
tại thời điểm t vật có toạ độ x thì sau khoảng thời gian ngắn nhất
ω
π
2
=T
vật lập lại quỹ đạo củ ,
do đó chu kỳ dao động điều hoà là
ω
π
2
=T
k
m
T
π
2=⇒

5/ Dao ñộng tự do: Dao động mà chu kỳ chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ , không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài gọi là
dao động tự do.

M

x
x
O

)(.
m.g - k∆l – kx = m.x
//
(2.2)
Thay 1.2 vào 2.2 ta có
//
. . . .
k x m a m x
⇒ − = =

0
//
=+⇒ x
m
k
x

0
2//
=+ xx
ω
( 3 )
với
m
k
=
2
ω
nghiệm phương trình ( 3 ) cho
cos( )

amFQP .=++

Chiếu PT (2) lên trục toạ độ: + Psinα – F = m.a (2.1)

maxlkgm
=
+
∆
−
+
)(sin.
α

⇒
m.g sinα- k∆l – kx = m.x
//
(2.2)
Thay 1.2 vào 2.2 ta có
//
xmamxk ==⇒

0
//
=+⇒ x
m
k
x

0
2//

m

k

l
III.Phương trình ly ñộ , vận tốc , gia tốc của dao ñộng ñiều hoà : K m
Phương trình li độ:
cos( . )
x A t
ω ϕ
= +

Phương trình vận tốc: v = x
/
=
(
)
sinA t
ω ω ϕ
− +

Phương trình gia tốc a =v
/
= x
//
=-ω
2
Acos(ωt +ϕ) =- ω
2
x

kA
2
cos
2
(ωt+ϕ) =
1
2
mω
2
A
2
cos
2
(ωt+ϕ)
• Đồ thị W
t
ứng với trường hợp ϕ = 0 ở hình bên.
3. Biểu thức ñộng năng:
• Tại thời điểm t bất kì vật nặng m có vận tốc v=-Aωsin(ωt+ϕ) và có động năng W
đ
=
1
2
mv
2
=
1
2
mA
2

2
(ωt+ϕ)
2 2 2
1 1
2 2
W kA m A
ω
⇒ = =

• Đồ thị W
t
, W
đ
vẽ trong cùng một hệ trục toạ độ ở hình bên.
Định luật : Trong quá trình dao động không ma sát , có sự biến đổi qua lại giữa thế năng và động năng nhưng tổng của
chúng tức là cơ năng không đổi hay được bảo toàn và tỷ lệ với bình phương biên độ dao động . Thế năng của con lắc :
E

t = E cos
2
(ωt +ϕ ); Động năng của con lắc : E
đ
= E sin
2
(ωt +ϕ )
Lưu ý :
* Cơ năng của con lắc phụ thuộc vào cách kích thích dao động hay phụ thuộc vào biên độ dao động.
* Khi W
t
= W

T

4
T

O

1
4
m
ω
2
A
2

1
2
m
ω
2
A
2W
t
t
2
T


1
4
m
ω
2
A
2

1
2
m
ω
2
A
2

Bài tập :
1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Tại vị trí nào thì động năng bằng thế năng.
2. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Tại vị trí nào thì động năng gấp đôi thế năng.
3. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Tại vị trí nào thì động năng gấp 4 lần thế năng.
4. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Sau những khoảng thời gian nào thì động năng bằng thế
năng.
5. Một con lắc lò xo có k = 100N/m, quả nặng có khối lượng m = 1kg. Khi đi qua vị trí có ly độ 6cm vật có vận tốc 80cm/s.
a) Tính biên độ dao động: A. 10cm B. 5cm C. 4cm D. 14cm
b) Tính động năng tại vị trí có ly độ x = 5cm : A. 0,375J B. 1J C. 1,25J D. 3,75J
6. Treo một vật nhỏ có khối lượng m = 1kg vào một lò xo nhẹ có độ cứng k = 400N/m. Gọi Ox là trục tọa độ có phương
thẳng đứng, gốc tọa độ 0 tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương hướng lên. Vật được kích thích dao động tự do với biên
độ 5cm. Động năng E
đ1
và E

của vật là
A. 1,5J B. 0,1J C. 0,08J D. 0,02J
8. Một vật có khối lượng m =100(g) dao động điều hoà trên trục Ox với tần số f =2(Hz), lấy tại thời điểm t
1
vật có li độ
x
1
= -5(cm), sau đó 1,25(s) thì vật có thế năng:
A.20(mj) B.15(mj) C.12,8(mj) D.5(mj)
9. Một con lắc lò xo dao động điều hoà . Nếu tăng độ cứng lò xo lên 2 lần và giảm khối lượng đi hai lần thì cơ năng của vật
sẽ: A. không đổi B. tăng bốn lần C. tăng hai lần D. giảm hai lần
10. Một con lắc lò xo nằm ngang, tại vị trí cân bằng, cấp cho vật nặng một vận tốc có độ lớn 10cm/s dọc theo trục lò xo, thì
sau 0,4s thế năng con lắc đạt cực đại lần đầu tiên, lúc đó vật cách vị trí cân bằng
A. 1,25cm. B. 4cm. C. 2,5cm. D. 5cm.
11. Con lắc lò xo dao động theo phương ngang với phương trình x = Acos(ωt + ϕ). Cứ sau những khoảng thời gian bằng
nhau và bằng π/40 (s) thì động năng của vật bằng thế năng của lò xo. Con lắc DĐĐH với tần số góc bằng: A. 20 rad.s
–
1
B. 80 rad.s
– 1
C. 40 rad.s
– 1
D. 10 rad.s
– 1

12. Một vật dao động điều hoà, cứ sau một khoảng thời gian 2,5s thì động năng lại bằng thế năng. Tần số dao động của vật
là: A. 0,1 Hz B. 0,05 Hz C. 5 Hz D. 2 Hz
12. Một vật dao động điều hoà với phương trình : x = 1,25cos(20t +
π
/2)cm. Vận tốc tại vị trí mà thế năng gấp 3 lần

=

6. Cách xác ñịnh lực ñàn hồi cực tiểu hay cực ñại
Đối với con lắc lò xo nằm ngang : F
mim
= 0 và F
max
= K.A
Đối với con lắc lò xo thẳng đứng :
* Khi
max
min
( )
0
F k l A
l A
F
= ∆ +
 
∆ ≤ ⇒
 
=
 
Khi
l
∆
> A
max
min
( )

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian :
//
0

2
1
2.
2
1
0 vvmxxk
dt
dE
+==

(
)
00
2//
0
////
0
=+⇒+⇒+=⇒ xxxkmxmxxk
ω
với
m
k
=
2
ω


cosx A t
ω ϕ
= +
Phương trình vận tốc: v =
(
)
sinA t
ω ω ϕ
− +Xác định tần số góc ω
Xác định biên độ A
Xác định pha ban đầu ϕ
1 Dựa vào giả thiết Dựa vào giả thiết Dựa vào giả thiết
2
Nếu biết K ,m thì
m
k
=
ω

Nếu biết chiều dài quỹ đạo d thì
2
d
A=

Khi t = 0 thì x = A cosϕ
Và v = - ωAsinϕ
3

*Nếu đã biết A thì ta có
x
1
= A cosϕ
1
cos cos
x
A
ϕ α
⇒
= =

ϕ α
⇒ = ±

nếu v> 0 chọn
ϕ α
= −

nếu v< 0 chọn
ϕ α
= +

5 Nếu biết v
max
và A thì
A
v
max
=

22
xA
v
−
=
ω

Nếu biết toạ độ x vận tốc v và tần số góc
ω thì
2
2






+=
ω
v
xA

*Nếu chưa biết A thì
x = A cosϕ
v = -ωA sinϕ
Lập tỉ số
sin
cos
v A
x A

m
k
∆
==
ω

Dựa vào điều kiện ban đầu tìm A và ϕ

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho con lắc lò xo có độ cứng K = 100N/m , m = 1kg khi dao động chiều dài cực đại L
max
= 40 cm và L
min
= 20
cm.Viết phương trình dao động .Chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương
Bài 2: Một vật dao động điều hoà với chu kỳ T = 0,1 s , chiều dài quỹ đạo d = 40 cm , viết phương trình dao động chọn
gốc thời gian khi vật ở vị trí bờ dương
Bài 3: Một vật chuyển động trong 1 chu kỳ đi được quãng đường l = 40cm khi qua VTCB có vận tốc v
0
= 20π cm/s . Viết
PT dao động chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều âm
Bài 4: Một con lắc lò xo thẳng đứng khi treo vật nặng vào thì lò xo giãn ra 1 đoạn ∆l = 10 cm . Lấy g = 10 m/s
2
.Vận tốc
qua VTCB v
0
= 60 cm/s .Viết phương trình dao động chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí x
1
=-3 cm hường về vị trí bờ gần
nhất

2
. Viết phương trình dao
động. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, gốc thời gian là lúc vật có li độ 1 cm và đang đi về vị trí cân bằng
Bài 13: Xét 1 hệ dao động điều hoà với chu kì dao động T = 0,1
( )
s
π
. Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng thì sau khi hệ bắt
đầu dao động được t = 0,5T vật ở toạ độ x = -
2 3
cm và đang đi theo chiều (-) quỹ đạo và vận tốc có giá trị 40cm/s. Viết
phương trình dao động của vật.
Bài 14: Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo 4cm, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên đến vị trí cân bằng là 0,1s.
Lập phương trình dao động của vật chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều (–)
Bài 15: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Thời gian vật đi từ vị trí thấp nhất tới vị trí cao nhất cách nhau 10cm là 1,5s.
Chọn gốc thời gian là lúc vật có vị trí thấp nhất và chiều (+) hướng xuống dưới. Viết phương trình dao động
Bài 16: Vật dao động điều hoà với tần số f = 2Hz và biên độ A = 20cm. Viết phương trình dao động của vật trong các
trường hợp sau;
1) Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều (+)
2) Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí có li độ +10cm ngược chiều (+)
3) Chọn gốc thời gian lúc vật đang ở vị trí biên dương
Bài 17: Một con lắc lò xo gòm một quả nặng có khối lưọng 0,4kg và 1 lò xo có độ cứng 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra
khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn bằng 8 cm theo chiều(+) và thả cho nó dao động
1) Viết phương trình dao động của quả nặng
2) Tìm giá trị cực đại của vận tốc quả nặng
III. TÌM THỜI ðIỂM VẬT ðI QUA MỘT VỊ TRÍ M XÁC ðỊNH
TÌM KHOẢNG THỜI GIAN VẬT ðI TỪ VỊ TRÍ M ðẾN VỊ TRÍ N
TÌM VẬN TỐC TRUNG BÌNH TRÊN ðOẠN MN
I. Xác định thời điểm vật qua vị trí M lần thứ n
Cho biết phương trình : x = Acos(ωt + ϕ) thay toạ độ của điểm M vào phương trình

+ ϕ) → tìm t
1
theo (I)
thay toạ độ x
N
vào phương trình x
N
= Acos(ωt
2
+ ϕ) → tìm t
2
theo (I)
thời gian đi từ M → N là t =  t
2
– t
1

III.Tốc độ trung bình
t
S
v =
Vận tốc trung bình
t
xx
v
MN
−
=

a) Tốc độ trung bình trong 1 chu ky :

3 s . Tìm thời gian đi từ O đến M
Bài 4 : Một vật dao động điều hoà với chu kỳ T =1s khi qua VTCB vận tốc của vật là 20π cm/s
1. Viết phương trình dao động của vật chọn gốc thời gian ở vị trí biên có toạ độ âm
2. Tìm thời điểm vật qua vị trí x
1
= 5
2
cm theo chiều dương lần thứ 2
3. Gọi M, N là 2 điểm có toạ độ x
M
= - 5 cm , x
N
= + 5 cm Tìm khoảng thời gian đi từ M đến N
4. Tìm tốc độ trung bình trên đoạn MN
Bài 5 : Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nhỏ có khối lượng m = 250 g và một lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m
.Kéo vật m xuống theo phương thẳng đứng đến vị trí mà lò xo giản ra 7,5 cm rồi thả nhẹ . Chọn gốc toạ độ ở VTCB trục
toạ độ thẳng đứng , chiều dương hướng lên trên . Chọn gốc thời gian lúc thả vật lấy g = 10 m/s
2
.Coi vật dao động điều hoà
.Viết phương trình dao động và tìm thời gian kể từ lúc thả vật đến vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất.
IV . LÒ XO GHÉP VÀ LÒ XO BỊ CẮT
A/ LÒ XO GHÉP
1) Ghép nối tiếp:
2)
L
1
L
2
F
1

21
11
kk
Fx

21
111
kkk
+=

L
22) Ghép song song:
x = x
1
= x
2

F = F
1
+ F
2

F = k
1
x
1
+k

…
221100
lklklk ∆=∆=∆

Dưới tác dụng của lực F
0
lò xo có chiều dài l
0
giản ra
L
1
L
2

đoạn
0
l∆
.vậy trong một mét chiều dài của l
0
thì giản L

ra một đoạn
0
0
l
l
d
∆
=


0
222
.
l
l
ldll
∆
==∆

⇒

0
0
22
0
0
11
0
0
00

l
l
lk
l
l
lk
l
l
lk

b) Mắc song song.
Bài 2:
Cho hai lò xo có độ cứng K
1
= 20 N/m và K
2
= 30 N/m , ghép nối tiếp thẳng đứng ,một đầu của K
1
gắn vào điểm
cố định ,đầu còn lại của K
2
gắn vào vật nặng có khối lượng m = 30 g.
1/ Tính độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng .lấy g = 10 m/s
2

2/ Kéo vật xuống dưới một đoạn x
0
= 5 cm rồi buông nhẹ.
a) Chứng minh vật dao động điều hoà.
b) Viết phương trình dao động.Chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí x
1
= - 2,5 cm hướng về vị trí cân bằng.
c) Tính cơ năng của hệ.
d) Tính vận tốc của vật khi qua vị trí có li độ x
2
= + 3 cm theo chiều dương.
e) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo.
a) BÀI TOÁN VA CHẠM CỦA CON LẮC LÒ XO
A. VA CHẠM ðÀN HỒI:
a. VCĐH là va chạm mà cơ năng được bảo toàn

1
vmvmvmvm +=+

II. VA CHẠM MỀM :
- Va chạm không đàn hồi là va chạm mà cơ năng không được bảo toàn
- Va chạm mềm là sau khi va chạm hai vật dính vào nhau và chuyển động cùng vận tốc
Trong va chạm mềm định luật bảo toàn ĐỘNG LƯỢNG luôn được nghiệm đúng còn định luật bảo toàn ĐỘNG
NĂNG không còn nghiệm đúng nữa.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một vật có khối lượng M = 400 g .gắn vào lò xo có độ cứng k = 40 N/m ,ban đầu vật M đứng yên và có thể trượt
không ma sát trên mat phẳng ngang.Một vật m=100 g chuyển động theo phương ngang với vận tốc v
0
=1 m/s tới va chạm
đạn hồi với vật M .
 Tìm vận tốc của mỗi vật ngay sau va chạm.
 Chứng minh vật dao động điều hoà.
 Tìm biên độ và năng lượng dao động. ( Hình 1 )
Bài 2: Một đĩa cân có khối lượng M = 400 g,gắn vào một lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k = 50 N/m ban đầu đứng
yên.Một vật có khối lượng m = 100 g thả rơi tự do từ độ cao h = 20 cm ( so với đĩa cân ) xuống va chạm vào đĩa.Sau va
chạm vật m dính vào đĩa và cả hai dao động điều hoà.Lấy g = 10 m/s
2
.Bỏ qua mọi lực cản.
A. Tính vận tốc của mỗi vật ngay sau va chạm. m
B. Tìm biên độ và năng lượng của hệ dao động.( Hình 2 )

h
M